Question

10．如图所示，圆形区域中，圆心角为30°的扇面MON之外分布着垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，一质量为m、带电量为-q的粒子，自圆心O点垂直于OM以速度v射入磁场，粒子能两次经过边界OM，不计粒子重力
（1）求粒子从射入到第一次穿过边界ON，在磁场中运动的时间
（2）求圆形区域的最小半径
（3）若圆形区域无限大，现保持其它条件不变而将∠MON变为l0°，粒子射出后穿越磁场边界的次数．

Answer 1

分析 由题意画出运动轨迹图，并由几何关系来确定两段圆弧的圆心角及各线段长；由周期公式来计算各段时间；由切点处作出两圆半径关系，并求解；寻找每次旋转后角度变化规律来求总次数

解答 解：（1）粒子第一次穿过ON边界，入射速度与ON夹角为60°，如图知偏转角θ=120°
所以在磁场运动时间：t=$\frac{120°}{360°}$T=$\frac{1}{3}\frac{2πm}{qB}$=$\frac{2πm}{3qB}$
（2）根据洛伦兹力充当向心力qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$知
半径R=$\frac{mv}{qB}$
要保证粒子两次过OM，磁场最小区域应与圆周运动在E点相切
在△O₁AB中O₁B=2R
在△O₂BD中BD=$\frac{R}{2}$
在△ODO₂中，OD=OB-OD=$\frac{5}{2}R$
O₂D=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R
得OO₂=$\sqrt{7}$R
最小半径r=$\frac{（1+\sqrt{7}）mv}{qB}$
（3）∠MON变为10°，首次从ON边界向下穿出时与之夹角为80°
首次穿出OM时与之夹角为70°
每次从边界向扇形区穿出，均比上次夹角减小10°
直到向上穿出时，与OM夹角为10°，不再进入磁场
故穿过边界的次数为15次
答：（1）粒子从射入到第一次穿过边界ON，在磁场中运动的时间为$\frac{2πm}{3qB}$；
（2）圆形区域的最小半径为$\frac{（1+\sqrt{7}）mv}{qB}$；
（3）若圆形区域无限大，现保持其它条件不变而将∠MON变为l0°，粒子射出后穿越磁场边界的次数为15次．

点评 本题考查带电粒子在磁场中的运动，难度较大，过程复杂，关键在于用运动轨迹图来寻找几何关系，确定长度及角度，将复杂运动形成规律进行简化解决