Question

【题目】如图1所示是游乐场中过山车的实物图片，图2是过山车的模型图．在模型图中半径分别为R1=2.0m和R2=8.0m的两个光滑圆形轨道，固定在倾角为α=37°斜轨道面上的Q、Z两点，且两圆形轨道的最高点A、B均与P点平齐，圆形轨道与斜轨道之间圆滑连接．现使小车（视作质点）从P点以一定的初速度沿斜面向下运动．已知斜轨道面与小车间的动摩擦因数为μ= ，g=10m/s2 ， sin37°=0.6，cos37°=0.8．问：

（1）若小车恰好能通过第一个圆形轨道的最高点A处，则其在P点的初速度应为多大？
（2）若小车在P点的初速度为10m/s，则小车能否安全通过两个圆形轨道？

Answer 1

【答案】
（1）解：

设小车经过A点时的临界速度为v1，则有

设Q点与P点高度差为h1，PQ间距离为L1，

P到A对小车，由动能定理得：

解得v01=2 m/s

答：若小车恰好能通过第一个圆形轨道的最高点A处，则其在P点的初速度应为2 m/s；

（2）解：Z点与P点高度差为h2，PZ间距离为L2

小车能安全通过两个圆形轨道的临界条件是在B点速度为v2且在B点时有：

设P点的初速度为：v02

P点到B点的过程，由动能定理得：

解得：v02= m/s

可知v02= m/s＜10m/s，能安全通过．

答：若小车在P点的初速度为10m/s，则小车能安全通过两个圆形轨道．

【解析】（1）小车恰好能通过第一个圆形轨道的最高点A处时，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律求出小球经过A点的速度．由几何知识求出P、Q间的距离SPQ，运用动能定理研究小球从P到A的过程，求解P点的初速度．（2）首先根据小车在P点的初速度10m/s，与第一问中v0比较，分析小车能否安全通过圆弧轨道O1．若小车恰能通过B点，由重力提供向心力，由牛顿第二定律列方程，求出小车通过B点的临界速度，根据动能定理求出小车在P点的临界速度，再确定小车能否安全通过两个圆形轨道．
【考点精析】掌握动能定理的综合应用是解答本题的根本，需要知道应用动能定理只考虑初、末状态，没有守恒条件的限制，也不受力的性质和物理过程的变化的影响.所以，凡涉及力和位移，而不涉及力的作用时间的动力学问题，都可以用动能定理分析和解答，而且一般都比用牛顿运动定律和机械能守恒定律简捷．