Question

【题目】如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常数为G。

（1）求两星球做圆周运动的周期；
（2）在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B ， 月球绕其轨道中心运行的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg和7.35×1022kg。求T2与T1两者平方之比。（结果保留三位小数）

Answer 1

【答案】
（1）

两星球围绕同一点O做匀速圆周运动，其角速度大小相同，周期也相同，其所需向心力由两者间的万有引力提供，设A、B的轨道半径分别为r2、r1，由牛顿第二定律得：

对于B有

对于A有

又r1＋r2＝L

联立解得T＝2π

（2）

若认为地球和月球都围绕中心连线某点O做匀速圆周运动，根据题意可知M地＝5.98×1024kg，m月＝7.35×1022kg，地月距离设为L′，

由（1）可知其两星球的运行周期为

T1＝2π

若认为月球围绕地心做匀速圆周运动，由万有引力定律和牛顿第二定律得

解得T2＝2π

故

【解析】解:（1）两星球围绕同一点O做匀速圆周运动，其角速度大小相同，周期也相同，其所需向心力由两者间的万有引力提供，设A、B的轨道半径分别为r2、r1 ， 由牛顿第二定律得：
对于B有
对于A有
又r1＋r2＝L
联立解得T＝2π （2）若认为地球和月球都围绕中心连线某点O做匀速圆周运动，根据题意可知M地＝5.98×1024kg，m月＝7.35×1022kg，地月距离设为L′，
由（1）可知其两星球的运行周期为
T1＝2π
若认为月球围绕地心做匀速圆周运动，由万有引力定律和牛顿第二定律得

解得T2＝2π
故

【考点精析】利用卫星问题多星系统对题目进行判断即可得到答案，需要熟知所谓地球同步卫星，是相对于地面静止的，这种卫星位于赤道上方某一高度的稳定轨道上，且绕地球运动的周期等于地球的自转周期；同步卫星的轨道一定在赤道平面内，并且只有一条.所有同步卫星都在这条轨道上，以大小相同的线速度，角速度和周期运行着．