Question

（2009?淮南三模）如图所示，ab为与水平面成37°角的倾斜轨道，其延长线在c点与半圆轨道cd相切，cd的半径R=1.2m，全部轨道由绝缘材料制成且位于竖直内面内．整个空间存在水平向左的匀强电场E，ab轨道b端的右侧空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场B．-个质量m=0.24kg的带电小球沿ab轨道下滑，至b点时的速度v_b=12m/s，接着沿直线bc（此处无轨道）匀速运动到c处进入半圆轨道cd，且到达d点时对轨道的压力大小F_N=2.7N，小球从d点飞出时磁场消失．取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，

15

=3.87．求：
（1）小球所带电荷的种类．
（2）小球离开d点后的运动轨迹与直线ac的交点距c点的距离．
（3）小球在半圆轨道上运动时克服摩擦力所做的功．

Answer 1

分析：带电粒子在只有电场的倾斜轨道上做匀加速运动后，进入电场与磁场混合的场中做匀速直线运动，重力、洛伦兹力与电场力处于平衡状态，接着沿半圆轨道运动刚好能达到D点，最后从D点做类平抛运动，此时所受到的合力正好与速度相互垂直．因此由电场力与电场强度方向可确定小球所带电性，同时利用平抛运动规律可得小球垂直与速度方向上发生的位移，从而求出运动的时间，最终确定沿速度方向的运动的位移．小球在半圆轨道上由运动定理可得克服摩擦力做功多少．

解答：解：（1）由电场力与电场强度方向可确定小球所带正电荷；
（2）依题意可知：小球在BC间做匀速直线运动．
在C点的速度为：v_c=v_B=

100

7

m/s，在BC段其受力如图所示，
设重力和电场力合力为F．
F=qv_CB   
又 F=

mg

cos37°

=

0.24×10

0.8

=3N
解得：qB=

F

vc

=

1

4

   
在D处由牛顿第二定律可得：qBv_D+F=

mvD2

R

将 qB=

1

4

代入上式并化简得：4vD2-5v_D-114=0   
解得：v_D=6m/s，v_D=

19

4

m/s（舍去）        
小球离开D点后作类平抛运动，其加速度为：a=

F

m

=

25

2

m/s²    
由2R=

1

2

at2 
代入数据得：t=0.62s       
s=v_Dt=6×0.62=3.7m  
（3）CD段克服摩擦力做功W_f
由动能定理可得：-W_f-2FR=

1

2

m(vD2-vC2)     
代入数据，解得：W_f=5.76J   
答：（1）小球带正电荷．
（2）小球离开d点后的运动轨迹与直线ac的交点距c点的距离为3.7m．
（3）小球在半圆轨道上运动时克服摩擦力所做的功为5.76J．

点评：小球从D点飞出后，正好受到重力与电场力且这两个力的合力与速度垂直，所以刚好做类平抛运动．因此可以将倾斜轨道等效看成水平面，相当于小球做平抛运动，从而可以运用平抛运动规律来处理．