Question

8．如图所示，虚线框内为某种电磁缓冲车的结构示意图，其主要部件为缓冲滑块K和质量为m的“U”形框缓冲车厢，在车厢的底板上固定着两个水平绝缘导轨PQ、MN，车厢的底部固定有电磁铁（图中未画出），能产生垂直于导轨平面并随车厢一起运动的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，设导轨右端QN是磁场的右边界．导轨内的缓冲滑块K由高强度绝缘材料制成，滑块K上绕有闭合矩形线圈abcd，线圈的总电阻为R，匝数为n，ab边长为L．假设缓冲车以速度v₀与障碍物C碰撞后，滑块K立即停下（碰前车厢与滑块相对静止），此后线圈与轨道磁场的作用使车厢减速运动，从而实现缓冲．假设不计一切摩擦力，求：

（1）求滑块K的线圈中感应电动势E_m的大小；
（2）若缓冲车厢向前移动距离L后速度为零（导轨未碰到障碍物），则此过程线圈abcd中过的电荷量q和产生的焦耳热Q各是多少？
（3）若缓冲车以某一速度v₀′（未知）与障碍物C碰撞后，滑块K立即停下，缓冲车厢所受的最大水平磁场力为Fm．缓冲车在滑块K停下后，其速度v随位移x的变化规律满足：v=v₀′-$\frac{{n}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}{mR}$x．要使导轨右端不碰到障碍物，则导轨右端与滑块K的cd边距离至少多大？

Answer 1

分析 （1）缓冲车以速度v₀与障碍物C碰撞后，滑块相对磁场的速度大小为v₀，此时线框中产生的感应电动势最大，由公式E_m=nBLv₀求出最大感应电热势．
（2）缓冲车厢向前移动距离L后速度为零，缓冲车厢的动能全部转化为内能，根据能量守恒求线圈中产生的热量；
（3）根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律和安培力公式得到缓冲车厢所受的最大水平磁场力F_m与${v}_{0}^{′}$的关系式，根据题意，v=$v={v}_{0}^{′}-\frac{{n}_{\;}^{2}{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}{mR}x$，当v=0时，求出x．

解答 解：（1）缓冲车以速度v₀与障碍物C碰撞后，滑块K立即停下，滑块相对磁场的速度大小为v₀，线圈中产生的感应电动势最大，则有：
E_m=nBLv₀．
（2）由法拉第电磁感应定律：$E=n\frac{△φ}{△t}$
闭合电路的欧姆定律$I=\frac{E}{R}$
电量q=It
联立得$q=n\frac{△φ}{R}=n\frac{B{L}_{\;}^{2}}{R}$
由功能关系得：$Q=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
（3）当缓冲车以某一速度v₀′（未知）与障碍物C碰撞后，滑块K立即停下，滑块相对于磁场的速度大小为v₀′．
线圈产生的感应电动势为E_m=nBLv₀′；
线圈中的电流为$I=\frac{E}{{R}_{总}^{\;}}$线圈ab受到的安培力F=nBIL
由题意得：F=F_m，
解得${v}_{0}^{′}=\frac{{F}_{m}^{\;}R}{{n}_{\;}^{2}{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}$
由题意知v=v₀′-$\frac{{n}_{\;}^{2}{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}{mR}x$，
当v=0时，解得：$x=\frac{m{F}_{m}^{\;}{R}_{\;}^{2}}{{n}_{\;}^{4}{B}_{\;}^{4}{L}_{\;}^{4}}$
答：（1）求滑块K的线圈中感应电动势E_m的大小$nBL{v}_{0}^{\;}$；
（2）若缓冲车厢向前移动距离L后速度为零（导轨未碰到障碍物），则此过程线圈abcd中过的电荷量q为$n\frac{B{L}_{\;}^{2}}{R}$和产生的焦耳热Q是$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
（3）若缓冲车以某一速度v₀′（未知）与障碍物C碰撞后，滑块K立即停下，缓冲车厢所受的最大水平磁场力为Fm．缓冲车在滑块K停下后，其速度v随位移x的变化规律满足：v=v₀′-$\frac{{n}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}{mR}$x．要使导轨右端不碰到障碍物，则导轨右端与滑块K的cd边距离至少$\frac{m{F}_{m}^{\;}{R}_{\;}^{2}}{{n}_{\;}^{4}{B}_{\;}^{4}{L}_{\;}^{4}}$

点评 本题考查学生分析和理解科技成果的能力，运用电磁感应、电路及力学的基本规律进行分析．