Question

8．如图所示，一半径为R的光滑圆形细管，固定于竖直平面内，放置于管内最低处的小球以初速度v₀沿管内运动，欲使小球通过管的最高点，且小球在最高点时对管壁有向下的压力，求v₀必须满足的条件．

Answer 1

分析 若小球在最高点时对管壁有向下的压力，则管壁对小球有向上的支持力，则小球所受重力和支持力的合力提供向心力，小球的速度再根据从最低点到最高点的过程中，只有重力做功，由机械能守恒即可求解范围．

解答 解：在最高点小球的重力和管壁对小球的支持力提供向心力，则有：
mg-T=$\frac{{v}^{2}}{R}$，
当T=0时，速度最大，解得：
v=$\sqrt{gR}$
所以当0≤v＜$\sqrt{gR}$时，小球在最高点时对管壁有向下的压力，从最低点到最高点的过程中，只有重力做功，由机械能守恒得：
$\frac{1}{2}$mv₀²=mg•2R+$\frac{1}{2}$mv² 
当v=0时，解得：${v}_{0}=2\sqrt{gR}$，
当v=$\sqrt{gR}$时，解得：${v}_{0}=\sqrt{5gR}$
所以v₀的范围为：$2\sqrt{gR}$≤v₀＜$\sqrt{5gR}$
答：v₀必须满足的条件为$2\sqrt{gR}$≤v₀＜$\sqrt{5gR}$．

点评 本题主要考查了机械能守恒定律、圆周运动向心力公式的直接应用，知道双轨道模型，轨道对小球既能提供支持力，又能提供拉力，难度适中．