Question

3．如图所示，质量为0.5kg的小杯里盛有1kg的水，用绳子系住小杯在竖直平面内做“水流星”表现，转动半径为1m，小杯通过最高点的速度为4m/s，g取10m/s²．求：
（1）在最高点时，绳的拉力？水在最低点的向心加速度；
（2）在最高点时水对小杯底的压力；
（3）为使小杯经过最高点时水不流出，在最高点时最小速率是多少？

Answer 1

分析 （1）在最高点，对整体分析，根据牛顿第二定律求出绳子的拉力，根据动能定理求出最低点的速度，结合向心加速度的公式求出在最低点的向心加速度大小．
（2）对水研究，根据牛顿第二定律求出桶底对水的弹力，从而得出水对桶底的压力．
（3）抓住重力提供向心力，根据牛顿第二定律求出在最高点的最小速率．

解答 解：（1）在最高点，对整体分析，根据牛顿第二定律得，$F+Mg=M\frac{{v}^{2}}{L}$，
解得$F=M\frac{{v}^{2}}{L}-Mg=1.5×\frac{16}{1}-15N$=9N．
根据动能定理得，$mg•2L=\frac{1}{2}mv{′}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
代入数据解得v′=$\sqrt{56}m/s$，
则水在最低点的向心加速度a=$\frac{v{′}^{2}}{L}=\frac{56}{1}m/{s}^{2}=56m/{s}^{2}$．
（2）在最高点，对水分析，根据牛顿第二定律有：$mg+N=m\frac{{v}^{2}}{L}$，
解得N=$m\frac{{v}^{2}}{L}-mg=1×\frac{16}{1}-10N=6N$．
（3）根据$mg=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{L}$得，${v}_{0}=\sqrt{gL}=\sqrt{10}m/s$．
答：（1）在最高点，绳子的拉力为9N，水在最低点的向心加速度为56m/s²．
（2）在最高点时水对小杯底的压力为6N．
（3）在最高点时最小速率是$\sqrt{10}m/s$．

点评 解决本题的关键知道圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解，知道最高点的临界情况是绳子的拉力为零或桶底对水的弹力为零，靠重力提供向心力．