Question

8．如图所示为某制药厂自动生产流水线上的一部分装置示意图，已知传送带与水平面的夹角为α，O为漏斗，要使药品从漏斗出来经光滑槽送到传送带上，设滑槽与竖直方向的夹角为θ，则θ为多大时可使药片滑到传送带上的时间最短？

Answer 1

分析 根据牛顿第二定律求出在斜面上运动的加速度大小，根据几何关系求出斜面的长度，再根据x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$得到时间的表达式，由数学知识求解．

解答 解：由正弦定理得，$\frac{s}{sin（90°-α）}$=$\frac{h}{sin[180°-θ-（90°-α）]}$
解得：s=$\frac{hcosα}{cos（θ-α）}$
加速度为 a=$\frac{mgcosθ}{m}$=gcosθ
由s=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$得：t=$\sqrt{\frac{2s}{a}}$=$\sqrt{\frac{2hcosα}{gcos（θ-α）cosθ}}$
设y=gcos（θ-α）cosθ，则y的导数为 y′=g[-sin（θ-α）cosθ-cos（θ-α）sinθ]=gsin（α-2θ）
当y′=0时，即θ=$\frac{α}{2}$时y有最大，t有最小值．
答：θ为$\frac{α}{2}$时可使药片滑到传送带上的时间最短．

点评 解决本题的关键运用牛顿第二定律和运动学公式得到时间表达式，运用数学知识分析和求解．