Question

7．如图所示，质量m=2.0×10⁴kg 的汽车以不 变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为20m．如果桥面承受的压力不得超过3.0×10⁵N，则：
（1）汽车允许的最大速率是多少？
（2）若以所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？（g取10m/s²）

Answer 1

分析 汽车在最低点，靠支持力和重力的合力提供向心力，合力向上，支持力大于重力，在最高点，靠重力和支持力的合力提供向心力，合力向下，支持力小于重力，结合牛顿第二定律求出汽车允许的最大速率，以及在路面上行驶时的最小压力．

解答 解：（1）汽车在最低点受到的支持力最大，此时速度最大，根据牛顿定律得：
$N-mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$
代入数据：$3×1{0}^{5}-2×1{0}^{5}=2×1{0}^{4}×\frac{{v}^{2}}{20}$
解得：v=10m/s．
（2）当汽车运动到最高点时，支持力最小，根据牛顿第二定律得：
$mg-N′=m\frac{{v}^{2}}{R}$
代入数据：$2×1{0}^{5}-N′=2×1{0}^{4}×\frac{100}{20}$，
解得：N′=1.0×10⁵N．
根据牛顿第三定律得，汽车对桥面的最小压力为：N″=N′=1.0×10⁵N．
答：（1）汽车允许的最大速率是10m/s；
（2）若以所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力是1.0×10⁵N．

点评 解决本题的关键知道向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解．