Question

2．如图，以竖直向上为y轴正方向建立直角坐标系；该真空中存在方向沿x轴正向、场强为E的匀强电场和方向垂直xoy平面向外、磁感应强度为B的匀强磁场；原点O处的离子源连续不断地发射速度大小和方向一定、质量为m、电荷量为-q（q＞0）的粒子束，粒子恰能在xoy平面内做直线运动，重力加速度为g，不计粒子间的相互作用；
（1）求粒子运动到距x轴为h所用的时间；
（2）若在粒子束运动过程中，突然将电场变为竖直向下、场强大小变为E′=$\frac{mg}{q}$，求从O点射出的所有粒子第一次打在x轴上的坐标范围（不考虑电场变化产生的影响）；
（3）若保持EB初始状态不变，仅将粒子束的初速度变为原来的2倍，求运动过程中，粒子速度大小等于初速度λ倍（0＜λ＜2）的点所在的直线方程．

Answer 1

分析 （1）根据粒子做直线运动求得粒子受力情况，进而根据洛伦兹力求得速度；再由速度求得y方向的分量，进而求得运动时间；
（2）分析改变电场后粒子的受力情况及运动情况，然后讨论在粒子运动的不同位置改变电场得到的结果，进而求得坐标范围；
（3）由速度改变得到粒子运动状态改变，再根据动能定理求得x，y的关系，得到直线方程．

解答 解：（1）粒子恰能在xoy平面内做直线运动，则粒子在垂直速度方向上所受合外力一定为零；
又有电场力和重力为恒力，其在垂直速度方向上的分量不变，而要保证该方向上合外力为零，则洛伦兹力大小不变；
因为洛伦兹力F_洛=Bvq，所以，速度大小不变，即粒子做匀速直线运动，重力、电场力和磁场力三个力的合力为零；
设重力与电场力合力与-y轴夹角为θ，粒子受力如图所示，，
所以，（Bvq）²=（qE）²+（mg）²，所以，$v=\frac{\sqrt{（qE）^{2}+（mg）^{2}}}{Bq}$，
则v在y方向上分量大小${v}_{y}=v•sinθ=v•\frac{qE}{Bvq}=\frac{E}{B}$，
因为粒子做匀速直线运动，根据运动的分解可得，粒子运动到距x轴为h所用的时间$t=\frac{h}{{v}_{y}}=\frac{Bh}{E}$；
（2）若在粒子束运动过程中，突然将电场变为竖直向下、场强大小变为E′=$\frac{mg}{q}$，则电场力${{F}_{电}}^{'}=q{E}^{'}=mg$，电场力方向竖直向上；
所以，粒子所受合外力就是洛伦兹力，则有，洛伦兹力作向心力，即$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$，
所以，$R=\frac{mv}{Bq}=\frac{m\sqrt{（qE）^{2}+（mg）^{2}}}{{B}^{2}{q}^{2}}$；

如上图所示，由几何关系可知，当粒子在O点是就改变电场，第一次打在x轴上的横坐标最小，${x}_{1}=2Rsinθ=2×\frac{m\sqrt{（qE）^{2}+（mg）^{2}}}{{B}^{2}{q}^{2}}×\frac{qE}{\sqrt{（qE）^{2}+（mg）^{2}}}$=$\frac{2mE}{{B}^{2}q}$；
当改变电场时粒子所在处与粒子第一次打在x轴上的位置之间的距离为2R时，第一次打在x轴上的横坐标最大，${x}_{2}=\frac{2R}{sinθ}=\frac{\frac{2m\sqrt{（qE）^{2}+（mg）^{2}}}{{B}^{2}{q}^{2}}}{\frac{qE}{\sqrt{（qE）^{2}+（mg）^{2}}}}=\frac{2m[（qE）^{2}+（mg）^{2}]}{{B}^{2}{q}^{3}E}$；
所以，从O点射出的所有粒子第一次打在x轴上的坐标范围为x₁≤x≤x₂，即$\frac{2mE}{{B}^{2}q}≤x≤\frac{2m[（qE）^{2}+（mg）^{2}]}{{B}^{2}{q}^{3}E}$；
（3）粒子束的初速度变为原来的2倍，则粒子不能做匀速直线运动，粒子必发生偏转，则洛伦兹力不做功，电场力和重力对粒子所做的总功必不为零；
那么设离子运动到位置坐标（x，y）满足速率v′为初速度大小v₀′的λ倍，则根据动能定理：$-qEx-mgy=\frac{1}{2}mv{′}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}{′}^{2}$=$\frac{1}{2}m（{λ}^{2}-1）{v}_{0}{′}^{2}$；
因为粒子束的初速度变为原来的2倍，即v₀′=2v，所以，-qEx-mgy=2m（λ²-1）v²；
所以，$-qEx-mgy=2m（{λ}^{2}-1）•\frac{（qE）^{2}+（mg）^{2}}{{B}^{2}{q}^{2}}$；
所以，$y=-\frac{qE}{mg}x-\frac{2（{λ}^{2}-1）[（qE）^{2}+（mg）^{2}]}{{B}^{2}{q}^{2}g}$．
答：（1）粒子运动到距x轴为h所用的时间为$\frac{Bh}{E}$；
（2）若在粒子束运动过程中，突然将电场变为竖直向下、场强大小变为E′=$\frac{mg}{q}$，则从O点射出的所有粒子第一次打在x轴上的坐标范围（不考虑电场变化产生的影响）为$[\frac{2mE}{{B}^{2}q}，\frac{2m[（qE）^{2}+（mg）^{2}]}{{B}^{2}{q}^{3}E}]$；
（3）若保持E、B初始状态不变，仅将粒子束的初速度变为原来的2倍，则运动过程中，粒子速度大小等于初速度λ倍（0＜λ＜2）的点所在的直线方程为$y=-\frac{qE}{mg}x-\frac{2（{λ}^{2}-1）[（qE）^{2}+（mg）^{2}]}{{B}^{2}{q}^{2}g}$．

点评 求物体运动问题时，改变条件后的问题求解需要对条件改变引起的运动变化进行分析，从变化的地方开始进行求解．