题目内容
【题目】当温度从低到高变化时，通常物质会经历固体、液体和气体三种状态，当温度进一步升高，气体中的原子、分子将出现电离，形成电子、离子组成的体系，这种由大量带电粒子（有时还有中性粒子）组成的体系便是等离子体．等离子体在宏观上具有强烈保持电中性的趋势，如果由于某种原因引起局部的电荷分离，就会产生等离子体振荡现象．其原理如图，考虑原来宏观电中性的、厚度为
的等离子体薄层，其中电子受到扰动整体向上移动一小段距离
，这样在上、下表面就可分别形成厚度均为
的负、正电薄层，从而在中间宏观电中性区域形成匀强电场
，其方向已在图中示出．设电子电量为
、质量为
、数密度（即单位体积内的电子数目）为
；并设如下各问中，电荷运动及电场变化所激发的磁场及磁相互作用均可忽略不计
（1）试求该匀强电场的大小．（可利用平行板电容器公式：
，其中
为真空介电常量，
为电容器极板面积，
为极板间距）
（2）假定此后电子保持整体运动，且其运动对正离子的反冲及其与正离子之间的碰撞均可忽略不计．试说明这种整体运动为简谐振动，并求解振动角频率
的表达式．（结果以参量、
、、表述）
（3）在上图原等离子体薄层所在区域及其周边施加方向交变外电场
，其中
、
为已知常量．忽略正离子的运动，但考虑因电子与正离子的碰撞所带来的能量损耗，其效果可以等价为平均作用于每个电子上的线性速度阻尼力
，其中
为已知常量
①仍假定此后电子保持整体运动，且其稳态振动振幅
，试求该振幅
；
②将等离子体看作是一种电介质，即将交变电场作用下等离子体内部正、负电荷的相对移位看作是“极化”效应，试求解如上交变电场中等离子体薄层对应的复相对介电常量
【答案】(1) 
(2) 
(3)①
②
【解析】
（1）设等离子体上下底面积为
，则下表面电荷宏观电量为
’
匀强电场场强大小为．
（2）电子整体运动可由单个电子代表．处于题图中宏观电中性区域内的自由电子受力为
其中
也是该电子相对原平衡位置的位移，即该电子运动满足
．
因此，以该电子代表的整体运动为简谐振动，其角频率为．
（3）①取交变外电场复表述
则单电子稳态振动对应的复表述为
， ①
其中为复振幅．
单电子稳态振动复表述满足方程
，
其中
为(2)问所求．上式可化为
．
将①式代入得
，
， ②
，．
②解法一：定义等离子体介质的极化强度矢量
为单位体积内微观电偶极矩的求和，则由题文可知，当电子相对正离子整体移位
时（
为轴方向的单位向量），有
．
由（1）问中结果，得其产生附加电场为
．
对题文所述交变外电场作用下的极化机制，采用复表述并投影到轴方向，即得
，
． ③
由线性极化规律有
其中
为复电极化率．代入③式得
，即
．
代入②式得
．
将
代入，有
，
解得
,
故得复相对介电常量为，．
解法二：由总电场复表述
求解稳态振动复表述（仍设）方程
，
，
，即
，
得，．
