Question

5．一艘小船在100m宽的河中横渡到对岸，已知水流速度是3m/s，小船在静水中的速度是4m/s，求：
（1）欲使船渡河时间最短，船应该怎样渡河？最短时间是多少？船经过的位移多大？
（2）欲使航行距离最短，船应该怎样渡河？渡河时间多长？

Answer 1

分析 （1）当船在垂直于河岸方向上的速度最大时，渡河时间最短，即为船头始终指向河对岸时，时间最短．用运动学公式即可得知渡河的最短时间，船还随河水向下运动，求出船随河水向下运动的位移，即可得知船的实际位移．
（2）船垂直渡河时船的航程最短，此时船头要指向上游，并且沿河岸方向上的分量大小与水流的速度大小相等，对两个速度进行合成，利用运动学公式即可求得渡河时间．

解答 解：（1）船渡河时间最短，就是在垂直于河岸方向上的速度最大，即为让船头始终指向对岸，渡河时间为：
t_min=$\frac{d}{{v}_{静}}$=$\frac{100}{4}$=25s
船沿河流方向上的位移为：s=v_水•t_min=3×25=75m
船经过的位移为：x=$\sqrt{{d}^{2}+{s}^{2}}$=$\sqrt{10{0}^{2}+7{5}^{2}}$=125m
（2）要使船航程最短，即为让船垂直河岸渡河，船航行的实际速度垂直于河岸，如图所示
设船在静水中的速度方向与河岸间的夹角为θ，船在静水中的速度沿河岸上的分量大小与水流的速度大小相等，方向相反，有：v_静•cosθ=v_水
即为：cosθ=$\frac{3}{4}$
得：θ=arccos$\frac{3}{4}$
即为船头指向上游，与河岸间的夹角为arccos$\frac{3}{4}$
此时合速度为：v_合=$\sqrt{{v}_{静}^{2}-{v}_{水}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$m/s
渡河时间为：t=$\frac{d}{{v}_{合}}$=$\frac{100}{\sqrt{7}}$=$\frac{100\sqrt{7}}{7}$s
答：（1）欲使船渡河时间最短，船头应始终指向河对岸，船经过的位移125m
（2）欲使航行距离最短，船头应指向河上游，与河岸间的夹角为arccos$\frac{3}{4}$，渡河时间为$\frac{100\sqrt{7}}{7}$s．

点评 该题通过渡河的模型考察了运动的合成与分解，关于渡河问题，应注意几种渡河方式，一是垂直渡河，此时渡河位移最短，但是所用时间不是最短的，此种情况要求船的合速度与河岸垂直，二是船头始终指向对岸的渡河，此种情况下渡河时间最短，但是渡河位移不是最短；关于渡河问题，还要会判断能否垂直渡河，其条件是船在静水中的速度大小要大于河水流动的速度大小．