Question

（2008?福建模拟）如图所示，在NOQ范围内有垂直于纸面向里的匀强磁场I，在MOQ范围内有垂直于纸面向外的匀强磁场Ⅱ，M、O、N在一条直线上，∠MOQ=60°，这两个区域磁场的磁感应强度大小均为B．离子源中的离子带电荷量为+q，质量为m，通过小孔O₁进入两板间电压为U的加速电场区域（可认为初速度为零），离子经电场加速后由小孔O₂射出，再从O点进入磁场区域I，此时速度方向沿纸面垂直于磁场边界MN不计离子的重力．
（1）若加速电场两板间电压U=U₀，求离子进入磁场后做圆周运动的半径R₀
（2）在OQ上有一点P，P点到O点距离为若离子能通过P点，求加速电压U和从O点到P点的运动．

Answer 1

分析：（1）离子在电场中加速时，根据动能定理求解获得的速度．离子进入磁场后，由洛伦兹力提供向心力，离子做匀速圆周运动，由牛顿第二定律求解离子进入磁场后做圆周运动的半径R₀．
（2）OQ是一条直线，离子进入磁场时速度与OQ的夹角为30°，由几何知识分析得知，离子每次经过OQ一次，速度偏转60°，沿OQ方向前进的距离等于半径R，若离子能通过P点，则有 L=nR，即可求解加速电压，由圆心角求出时间．

解答：解：（1）离子在电场中加速时，根据动能定理得
   qU₀=

1

2

m

v

2 0

电子在磁场中运动时，由洛伦兹力提供向心力，则有
   qv₀B=m

v 2 0

R0

联立解得，R₀=

1

B

2U0m q

（2）离子进入磁场时的运动轨迹如图所示，由几何关系可知 

.

OP′

=

.

P′P″

=R₀
要保证离子通过P点，必须有 L=nR
解得，U=

B2L2q

2mn2

 其中n=1，2，3，…
又离子运动的周期为 T=

2πm

qB

则离子从O点到P点的运动时间为 t=n?

π 3

2π

?T=

nπm

3qB

，其中n=1，2，3，…
答：（1）离子进入磁场后做圆周运动的半径R₀为

1

B

2U0m q

．
（2）加速电压U是

B2L2q

2mn2

其中n=1，2，3，…，离子从O点到P点的运动时间为

nπm

3qB

，其中n=1，2，3，…．

点评：本题分析离子在磁场中运动时，关键要抓住离子经过OQ边界时速度方向与边界的夹角相等，根据周期性求解半径，确定时间．