Question

【题目】如图所示，质量为M=40kg、倾角为α=37°的斜面体（斜面光滑且足够长）放在粗糙的水平地面上，底部与地面的动摩擦因数为μ，斜面顶端与劲度系数为k=2000N/m、自然长度为L=0.4m的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m=10kg的物块。压缩弹簧使其长度为0.3m时将物块由静止开始释放，且物块在以后的运动中，斜面体始终处于静止状态。重力加速度为g=10m/s2。

（1）选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标轴，用x表示物块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动；

（2）求弹簧的最大伸长量；

（3）为使斜面始终处于静止状态，动摩擦因数μ应满足什么条件（假设滑动摩擦力等于最大静摩擦力）？

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）0.16m；（3）

【解析】

（1）设物块在斜面上平衡时，弹簧伸长量为，则有

解得

当物块位移为x时，弹簧伸长量为，物块所受合力为

联立以上各式解得

可知物块做简谐运动。

（2）物块做简谐振动的振幅为

由对称性可知，最大伸长量为

（3）设物块位移x为正，则斜面体受力情况如图所示

由于斜面体平衡，所以水平方向有

竖直方向有

又，

联立解得

，

为使斜面体保持静止，则有

解得

当x=-A时，上式右端达到最大值，代入数据解得