题目内容

(2011?天津)如图所示,圆管构成的半圆形竖直轨道固定在水平地面上,轨道半径为R,MN为直径且与水平面垂直,直径略小于圆管内径的小球A以某一初速度冲进轨道,到达半圆轨道最高点M时与静止于该处的质量与A相同的小球B发生碰撞,碰后两球粘在一起飞出轨道,落地点距N为2R.重力加速度为g,忽略圆管内径,空气阻力及各处摩擦均不计,求:
(1)粘合后的两球从飞出轨道到落地的时间t;
(2)小球A冲进轨道时速度v的大小.
分析:(1)求平抛运动的时间,当然是从竖直方向的自由落体运动中求得.
(2)小球A以某一初速度冲进轨道,到达半圆轨道最高点的过程机械能守恒、A与B碰撞过程动量守恒,而碰撞完成后的速度就是AB一起平抛的初速度.列出机械能守恒和动量守恒的方程组,问题可解.
解答:解:(1)粘合后的两球飞出轨道后做平抛运动,竖直方向分运动为自由落体运动,
2R=
1
2
gt2
…①
解得t=2
R
g
…②
(2)设球A的质量为m,碰撞前速度大小为v1,把球A冲进轨道最低点时的重力势能定为0,由机械能守恒定律知 
1
2
mv2=
1
2
m
v
2
1
+2mgR
…③
设碰撞后粘合在一起的两球速度大小为v2,则v2=
2R
t
=
gR

由动量守恒定律知 mv1=2mv2…
飞出轨道后做平抛运动,水平方向分运动为匀速直线运动,有 2R=v2t…⑤
综合②③④⑤式得v=2
2gR

答:(1)两球从飞出轨道到落地的时间t=2
R
g

(2)小球A冲进轨道时速度为2
2gR
点评:本题考查机械能守恒和动量守恒,分段列出相应的物理规律方程是解决问题的关键,
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