Question

9．如图甲所示，在y≥0的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，其磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示；与x轴平行的虚线MN下方有沿+y方向的匀强电场，电场强度E=$\frac{8}{π}$×10³N/C．在y轴上放置一足够大的挡板．t=0时刻，一个带正电粒子从P点以v=2×10⁴m/s的速度沿+x方向射入磁场．已知电场边界MN到x轴的距离为$\frac{π-2}{10}$m，P点到坐标原点O的距离为1.3m，粒子的比荷$\frac{q}{m}$=10⁶C/kg，不计粒子的重力．求粒子：
（1）在磁场中运动时距x轴的最大距离；
（2）粒子从P点进入磁场后经多长时间打到档板上；
（3）打在挡板上的位置到坐标原点O的距离．

Answer 1

分析 （1）带电粒子从P点进入磁场后做匀速圆周运动，由洛仑兹力提供向心力、以及运动学公式可求得带电粒子在磁场中的半径和周期，这是做题的条件．由于磁场是间时有时无，所以结合磁感应强度的变化规律画出粒子在两个周期的运动轨迹，根据轨迹显然知道粒子进入磁场运动时离开x轴的最大距离是粒子轨迹圆的直径．
（2）由运动轨迹，根据带电粒子在每个时间段的运动特点，分别求出每一个时间段的运动时间，再相加就是打在板上的总时间．
（3）在磁感应强度变化的一个周期内，带电粒子完成一次周性运动，其轨迹向x轴负方向平移2R的距离，根据此特征画出最后一次打在档板上的运动轨迹，由几何关系就能求出打在档板的坐标．

解答 解：设粒子在磁场中运动的轨道半径R和周期T，有
    $qBv=m\frac{{v}^{2}}{R}$      得：R=0.2m
   $T=\frac{2πm}{qB}=2π×1{0}^{-5}s$
  结合磁感应强度变化图象，画出粒子运动轨迹如答图甲所示
（1）运动中粒子距x轴的最大距离为d_m=2R=0.4m
（2）在0～$\frac{3π}{2}×1{0}^{-5}s$时间内，粒子偏转$\frac{3}{4}T$到达C点，接着无磁场，粒子做匀速直线运动到MN线上，历时
  t₁=$\frac{R+\overline{OM}}{v}$=$\frac{π}{2}×1{0}^{-5}s$，之后在电场中往返时间t₂=2×$\frac{v}{qE}$=$\frac{π}{2}×1{0}^{-5}s$，由2t₁+t₂=$\frac{3π}{2}×1{0}^{-5}s$知粒子回到C点时磁场恢复，之后又
  偏转一周半，
  如此重复，最后在磁场中偏转120⁰打在y轴上的J点，整个运动时间为t=$\frac{3T}{4}+\frac{3T}{2}×2+\frac{T}{3}+\frac{3T}{4}×3$=$\frac{38π}{3}×1{0}^{-5}s$
（3）由上问可知，粒子每完成一次周期性的运动，将向-x方向平移2R（即答图甲中所示从P点移到F点），$\overline{OP}=1.1m=5.5R$
  故粒子打在挡板前的一次运动如答图乙所示，其中I是粒子开始做圆周运动的起点，J是粒子打在挡板上的位置．K是最后
  一 段圆周运动的圆心，Q是I点与K点连线与y轴的交点．
  由题意知：$\overline{QJ}=OP-5R=0.1m$
  $\overline{KQ}=R-QI=0.1m=\frac{R}{2}$，则有：$\overline{JQ}=\sqrt{{R}^{2}-（KQ）^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}R$
 J点到O的距离为：
   ${y}_{J}=R+\frac{\sqrt{3}}{2}R$=$\frac{2+\sqrt{3}}{10}m$
答：（1）在磁场中运动时距x轴的最大距离为0.4m．
（2）粒子从P点进入磁场后经$\frac{38π}{3}×1{0}^{-5}s$打到档板上．
（3）打在挡板上的位置到坐标原点O的距离为$\frac{2+\sqrt{3}}{10}m$．

点评 本题的特点是计算一步往下走一步，画出一个周期内带电粒子运动的轨迹以及最后一次打在档板的轨迹是关键，结合几何关系，就能求出离开x轴的最大距离、打在档板上时间和位置坐标．