题目内容

（2009?江苏）1932年，劳伦斯和利文斯设计出了回旋加速器．回旋加速器的工作原理如图所示，置于高真空中的D形金属盒半径为R，两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可以忽略不计．磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直．A处粒子源产生的粒子，质量为m、电荷量为+q，在加速器中被加速，加速电压为U．加速过程中不考虑相对论效应和重力作用．
（1）求粒子第2次和第1次经过两D形盒间狭缝后轨道半径之比；
（2）求粒子从静止开始加速到出口处所需的时间t；
（3）实际使用中，磁感应强度和加速电场频率都有最大值的限制．若某一加速器磁感应强度和加速电场频率的最大值分别为Bm、fm，试讨论粒子能获得的最大动能Ekm．
分析：（1）狭缝中加速时根据动能定理，可求出加速后的速度，然后根据洛伦兹力提供向心力，推出半径表达式；
（2）假设粒子运动n圈后到达出口，则加速了2n次，整体运用动能定理，再与洛伦兹力提供向心力，粒子运动的固有周期公式联立求解；
（3）Bm对应粒子在磁场中运动可提供的最大频率，fm对应加速电场可提供的最大频率，选两者较小者，作为其共同频率，然后求此频率下的最大动能．
解答：解：（1）设粒子第1次经过狭缝后的半径为r1，速度为v1
qU=
1
2
mv12
qv1B=m
v
2
1
r1

解得  r1=
1
B
2mU
q

同理，粒子第2次经过狭缝后的半径  r2=
1
B
4mU
q

则 r2：r1=
2
：1．
（2）设粒子到出口处被加速了n圈
2nqU=
1
2
mv2
qvB=m
v2
R
T=
2πm
qB
t=nT

解得  t=
πBR2
2U
．
（3）加速电场的频率应等于粒子在磁场中做圆周运动的频率，即f=
qB
2πm

当磁场感应强度为Bm时，加速电场的频率应为fBm=
qBm
2πm

粒子的动能EK=
1
2
mv2
当fBm≤fm时，粒子的最大动能由Bm决定qvmBm=m
v
2
m
R

解得Ekm=
q2
B
2
m
R2
2m

当fBm≥fm时，粒子的最大动能由fm决定vm=2πfmR解得 EKm=2π2m
f
2
m
R2
答：（1）r2：r1=
2
：1 （2）t=
πBR2
2U
 （3）当fBm≤fm时，EKm=
q2
B
2
m
R2
2m
；当fBm≥fm时，EKm=2π2m
f
2
m
R2．
点评：此题是带电粒子在复合场中运动与动能定理的灵活应用，本题每一问都比较新颖，需要学生反复琢磨解答过程．
练习册系列答案
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①光电门传感器未放在标尺盘最低端的D点 ②摆锤释放器未置于A点
①光电门传感器未放在标尺盘最低端的D点 ②摆锤释放器未置于A点

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偏小
偏小
（填“偏大”、“偏小”或“仍准确”）
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△B
△t
）．求：

（1）用垂直于金属棒的水平拉力F使金属棒保持静止，写出F的大小随时间 t变化的关系式．
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l
v
）．

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