Question

15．如图甲所示，弯折成90°角的两根足够长金属导轨平行放置，形成左右两导轨平面，左导轨平面与水平面成53°角，右导轨平面与水平面成37°角，两导轨相距L=0.2m，电阻不计．质量均为m=0.1kg，电阻均为R=0.1Ω的金属杆ab、cd与导轨垂直接触形成闭合回路，金属杆与导轨间的动摩擦因数均为μ=0.5，整个装置处于磁感应强度大小为B=1.0T，方向平行于左导轨平面且垂直右导轨平面向上的匀强磁场中．t=0时刻开始，ab杆以初速度v₀沿右导轨平面下滑．t=ls时刻开始，对ab杆施加一垂直ab杆且平行右导轨平面向下的力F，使ab开始作匀加速直线运动．cd杆运动的v-t图象如图乙所示（其中第1s、第3s内图线为直线）．若两杆下滑过程均保持与导轨垂直且接触良好，g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）ab杆的初速度v₁：
（2）若第2s内力F所做的功为9J，求第2s内cd杆所产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）对cd杆受力分析，结合v-t图象求得回路中感应电流大小，感应电流是ab棒运动产生，再由电磁感应定律求得ab的速度，
（2）同（1）中一样通过cd求得2s末时ab棒的速度，根据运动知识求得ab运动得距离，再由动能定理求解焦耳热．

解答 解：（1）对cd杆，由v-t图象得：${a}_{1}=\frac{△v}{△t}=\frac{4}{1}=4m/{s}^{2}$，
由牛顿第二定律得：mgsin53°-μ（mgcos53°+F_N）=ma₁，解得：F_N=0.2N，
对ab杆，感应电动势：E=BLv₁，电流：I=$\frac{E}{2R}$，
cd杆的安培力：F_N=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{2R}$，解得：V₁=1m/s．
（2）由题意得第3s内cd的加速度：a₂=-4m/s²，
设2s时ab杆的速度为v₂，对cd杆，由牛顿第二定律得：$mgsin53°-μ（mgcos53°+\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}}{2R}）$=ma₂
解得：V₂=9m/s，有运动学知识得2s内ab杆的位移：${x}_{2}=\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}t=5m$
由动能定理得：${W}_{F}+{W}_{G}+{W}_{f}+{W}_{安}=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$，
而：W_F=9J，W_G=mgx₂sin37°，W_f=-μmgx₂cos37°，-W_安=2Qcd
解得：Q_cd=3J．
答：（1）ab杆的初速度v₁为1m/s：
（2）若第2s内力F所做的功为9J，第2s内cd杆所产生的焦耳热为3J．

点评 本题是电磁感应和图象结合的题目，合理的利用图象得到关键的加速度，再由牛顿第二定律和运动学公式及动能定理求解即可．