Question

【题目】细管AB内壁光滑、厚度不计，加工成如图所示形状，长L=0.8m的BD段固定在竖直平面内，其B端与半径R=0.4m的光滑圆弧轨道 平滑连接，CD段是半径R=0.4m的1/4圆弧，AC段在水平面上，与长S=1.25m、动摩擦因数μ=0.25的水平轨道AQ平滑相连，管中有两个可视为质点的小球a、b，ma=3mb．开始b球静止，a球以速度v向右运动，与b球发生弹性碰撞之后，b球能够越过轨道最高点P，a球能滑出AQ．(重力加速度g取10m/s2， )．求：

①若v=4m/s，碰后b球的速度大小；

②若v未知，碰后a球的最大速度；

③若v未知，v的取值范围

Answer 1

【答案】①6m/s．②4.9m/s ③5m/s＜v0≤9.8m/s

【解析】①a、b碰撞过程中，以a、b组成的系统为研究对象，经受力分析，系统动量守恒．选向右的方向为正，设a、b碰后瞬间速度为va1、vb1，由动量守恒得：
mav0=mava1+mbvb1…①
因a、b的碰撞是弹性碰撞，所以机械能守恒，有： ②
①②两式联立解得：va1＝v0＝2m/s；vb1＝v0＝6m/s
②、因a球能滑出AQ，故a与b碰后，a上升的高度不能超过B点，即上升的高度不会超过L+R．设碰撞后a的最大速度为
a球上升的过程中机械能守恒，有：ma=mag（L+R）
得：＝≈4.9m/s
③、欲使b能通过最高点，设b球与a碰撞后的速度为vb1，经过最高点时的速度为vb2，则有：mbg≤mb
得：vb2≥＝2m/s
b球在上升至最高点的过程中，只有重力做功，机械能守恒，有：

解得：vb1≥6m/s
v0min≥vb1＝4m/s
因为a球能通过粗糙区域，设a碰撞前的速度为，碰撞后，的速度为va1，则有：＞2μgs
解得：va1＞2.5m/s
＝2va1＞5m/s
碰后a上升的高度不能超过（L+R），必须满足v0max＝2va1≤2≈9.8m/s
综上可得5m/s＜v0≤9.8m/s