Question

如图1所示，在竖直向下，场强为E的匀强电场中，长为2l的绝缘轻杆可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，两个小球A、B固定于杆的两端，A、B的质量分别为m₁和m₂，A带负电，电量为q₁，B也带负电，电量为q₂．求：
（1）杆从静止开始由水平位置顺时针转到竖直位置，在此过程中电场力所做的功为多少？
（2）杆从静止开始由水平位置顺时针转到竖直位置时，两球的总动能为多少？
（3）若将轻杆弯折成如图2所示的“Γ”形，两边互相垂直、长度均为l，在竖直向下的匀强电场中（场强E的大小未知），可绕过O点的水平轴在竖直平面内无摩擦转动．现将“Γ”形杆从OB位于水平位置由静止释放，OB杆能转过的最大角度为127°，则该电场强度的大小为多少？

Answer 1

分析：（1）电场力做功与路径无关，与沿电场方向上的距离有关，根据该特点求出电场力做功的大小．
（2）对系统运用动能定理求出两球的总动能．
（3）OB杆可能顺时针转动，也可能逆时针转动．当OB杆转过最大角度时，动能为零．根据动能定理求出电场强度的大小．

解答：解：（1）电场力做功大小W=Eq₁l-Eq₂l                                                    
（2）对系统研究，根据动能定理得：（ q₁-q₂）El+（m₂-m₁）g l=E_k-0
解得：E_k=（ q₁-q₂）El+（m₂-m₁）g l                                      
（3）OB杆可能顺时针转动，也可能逆时针转动．当OB杆转过最大角度时，动能为零．
（ⅰ）设OB杆顺时针转动，根据动能定理，
（m₂g-q₂ E）l cosα-（ q₁E-m₁g）l（1+sinα）=0
解得：E=

m2-2m1

q2-2q1

g＜

m2g

q2

讨论：由于使OB杆顺时针转动，
必须满足m₂g＞q₂E，
所以：E=

m2-2m1

q2-2q1

g＜

m2g

q2

即：

m2-2m1

q2-2q1

-

m2

q2

＜0

2(m2q1-m1q2)

q2(q2-2q1)

＜0
当q2＞2q1，

m1

m2

＞

q1

q2

时，顺时针转动，当 q2＜2q1，

m1

m2

＜

q1

q2

时，顺时针转动．
（ⅱ）设OB杆逆时针转动，根据动能定理，
（q₂E-m₂ g）lcosα+（q₁E-m₁g）l（1+sinα）=0
解得：E=

m2+2m1

q2+2q1

g＞

m2g

q2

讨论：由于使OB杆逆时针转动，必须满足m₂g＜q₂E，
所以：E=

m2+2m1

q2+2q1

g＞

m2g

q2

即：

m2+2m1

q2+2q1

-

m2

q2

g＞0

2(m1q2-m2q1)g

q2(q2+2q1)

＞0
当 m₁q₂＞m₂q₁时，即当 

m1

m2

＞

q1

q2

时杆逆时针转动．
答：（1）杆从静止开始由水平位置顺时针转到竖直位置，在此过程中电场力所做的功为Eq₁l-Eq₂l．
（2）两球的总动能为（ q₁-q₂）El+（m₂-m₁）g l．
（3）当顺时针转动时，该电场强度的大小为

m2-2m1

q2-2q1

g，逆时针转动时，电场强度的大小为

m2+2m1

q2+2q1

g．

点评：解决本题的关键理清运动的过程，运用动能定理进行求解，注意在第三问中，OB杆可能顺时针转动，也可能逆时针转动．