Question

如图所示，水平放置的两根足够长的平行光滑金属导轨相距L，质量为m的金属杆ab垂直置于导轨上，两导轨左端接的定值电阻阻值为R，右端接的电容器为C，匀强磁场方向垂直于导轨平面竖直向下，磁感应强度为B，不计金属杆和金属导轨的电阻．
（1）当金属杆ab在水平外力F₁作用下以速度v₀向右匀速运动时，求电容器所带电量和金属杆ab所受水平外力F1的大小．
（2）现让金属杆ab在在水平外力F₂作用下从静止开始以加速度a向右做匀加速运动t时间，求该过程中电容器的充电电流I_C和F₂随时间t变化的关系式．

Answer 1

分析：（1）金属杆ab匀速运动时，产生感应电动势为E=BLv₀，因金属杆相当于电源，又不计电阻，则电容器两端的电压等于感应电动势E，可由Q=CU求其电量．根据欧姆定律可求出电路中感应电流I，由F=BIL求出杆所受的安培力，杆匀速运动，外力与安培力平衡，就能求得水平外力F₁的大小．
（2）让金属杆ab从静止开始向右做匀加速运动时，产生的感应电动势不断增大，电容器不断充电，电路中存在充电电流，根据I=

△Q

△t

，Q=CU，U=E，E=BLv、v=at，联立求得电容器的充电电流I_C，并能求出杆所受的安培力，再根据牛顿第二定律得到F₂随时间t变化关系式．

解答：解：（1）金属杆ab匀速运动时，产生感应电动势为E=BLv₀，
因不计金属杆和金属导轨的电阻，则电容器两端的电压U=E，
由C=

Q

U

得，电容器所带电量 Q=CE=CBLv₀．
电路中感应电流为 I=

E

R

杆所受的安培力大小为 F_A=BIL，
因杆做匀速运动，则由平衡条件得
  F₁=F_A．
联立以上各式得：F₁=

B2L2v0

R

（2）让金属杆ab从静止开始向右做匀加速运动时，在t时刻，杆的速度为 v=at
感应电动势为 E=BLv
电容器的所带电量为 Q=CE
则该过程中电容器的充电电流I_C=

△Q

△t

=

△(CBLv)

△t

=CBL

△v

△t

=CBLa
故通过杆的电流为 I=I_C+

E

R

=CBLa+

BLat

R

根据牛顿第二定律得
  F₂-BIL=ma
解得，F₂=ma+B²L²Ca+

B2L2at

R

答：
（1）电容器所带电量为CBLv₀，金属杆ab所受水平外力F₁的大小为

B2L2v0

R

．
（2）该过程中电容器的充电电流I_C为CBLa，F₂随时间t变化的关系式为ma+B²L²Ca+

B2L2at

R

．

点评：本题电磁感应与电路的综合，除掌握电磁感应与力学的基本规律外，关键要理解电容器的充电电流I_C=

△Q

△t

，并掌握电量Q=CU，再进行推导．