题目内容
一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界ad长为L，现从ad中点O垂直于磁场射入一速度方向与ad边夹角为30°、大小为v0的带正电粒子，如图所示．已知粒子电荷量为q，质量为m（重力不计）：（1）若要求粒子能从ab边射出磁场，v0应满足什么条件？
（2）若要求粒子在磁场中运动的时间最长，粒子应从哪一条边界处射出？最长时间是多少？出射点位于该边界上何处？
分析：（1）根据牛顿第二定律，由洛伦兹力提供向心力，结合几何关系可确定半径的范围，即可求解；
（2）根据题意确定运动轨迹，再由圆心角与周期公式，即可确定最长运动的时间；根据半径公式与半径的取值，即可求解．
（2）根据题意确定运动轨迹，再由圆心角与周期公式，即可确定最长运动的时间；根据半径公式与半径的取值，即可求解．
解答：解：（1）粒子带正电，粒子运动的轨迹如图所示，当粒子的速度大于与R1相对应的速度v1时，粒子将恰好不从dc边射出．
由几何关系可得：R1=L…①
由洛仑兹力和向心力公式可得：qv1B=m
…②
当粒子的速度小于与R2相对应的速度v2时，粒子将从ad边射出．
由几何关系可得：R2+R2sin30°=
L…③
由③式解得：R2=
L…④
由洛仑兹力和向心力公式可得：qv2B=m
…⑤
将①④式分别代入②⑤式可解得v1=
，v2=
所以v0的取值范围是
＜v0≤
．
（2）若粒子在磁场中运动的时间最长，其对应的圆周运动的圆心角必然最大，在答图中，当粒子的速度小于v2时，粒子从ad边的不同位置射出时，其半径虽不同，但圆心角的夹角都是
×2π，所以粒子在磁场中的运动时间也是
T，此即粒子在磁场中运动的最长时间．
粒子运动的周期：T=
=
所以粒子运动的最长时间为：t=
T=
=2R2sin30°=R2=
L
即：粒子将从O点上方的
L的范围射出磁场．
答：（1）若要求粒子能从ab边射出磁场，v0应满足
＜v0≤
．
（2）若要求粒子在磁场中运动的时间最长，粒子应从ad边界处射出，最长时间是
，
出射点位于该边界上O点上方
L处．
由几何关系可得：R1=L…①
由洛仑兹力和向心力公式可得：qv1B=m
| v12 |
| R1 |
当粒子的速度小于与R2相对应的速度v2时，粒子将从ad边射出．
由几何关系可得：R2+R2sin30°=
| 1 |
| 2 |
由③式解得：R2=
| 1 |
| 3 |
由洛仑兹力和向心力公式可得：qv2B=m
| v22 |
| R2 |
将①④式分别代入②⑤式可解得v1=
| qBL |
| m |
| qBL |
| 3m |
所以v0的取值范围是
| qBL |
| 3m |
| qBL |
| m |
（2）若粒子在磁场中运动的时间最长，其对应的圆周运动的圆心角必然最大，在答图中，当粒子的速度小于v2时，粒子从ad边的不同位置射出时，其半径虽不同，但圆心角的夹角都是
| 5 |
| 6 |
| 5 |
| 6 |
粒子运动的周期：T=
| 2πR |
| v |
| 2πm |
| qB |
| 5 |
| 6 |
| 5πm |
| 3qB |
. |
| OP |
| 1 |
| 3 |
即：粒子将从O点上方的
| 1 |
| 3 |
答：（1）若要求粒子能从ab边射出磁场，v0应满足
| qBL |
| 3m |
| qBL |
| m |
（2）若要求粒子在磁场中运动的时间最长，粒子应从ad边界处射出，最长时间是
| 5πm |
| 3qB |
出射点位于该边界上O点上方
| 1 |
| 3 |
点评：考查牛顿第二定律的应用，掌握几何关系在题中的运用，理解在磁场中运动时间与圆心角的关系．注意本题关键是画出正确的运动轨迹．
练习册系列答案
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选做题．在以下两题中选择一题完成．多做不加分
如图，一足够长的固定斜面与水平方向成α=37？角，空间有垂直于斜面的无限多个匀强磁场，其磁感应强度的大小均为B=0.5T，相邻磁场区域的磁场方向相反．每个磁场区域的宽度均为L1=0.1m，磁场区的边界均与斜面底边平行．现有一质量为m=0.05kg、电阻为R=0.5Ω的矩形金属框abcd沿此斜面下滑，已知ad=L1=0.1m，ab=L2=0.2m，下滑过程中，金属框的ab边始终与斜面底边平行，金属框与斜面间的动摩擦因数为μ=0.2，金属框下滑距离s=3m时速度达到最大，求：
选做题．在以下两题中选择一题完成．多做不加分