Question

9．如图甲所示，足够长的人平行金属导轨MN、PQ固定在同一水平面上，两导轨间距为L，MP间连有电阻R，导轨上停放一质量为m、电阻为r的金属杆ab，导轨电阻忽略不计，整个装置处于竖直向下的匀强磁场中，从0时刻起对ab施一水平向右的恒定拉力作用，t₂时刻ab达最大速度v₀，以后撤去拉力，ab杆向右运动的v-t图象如图乙所示，图中斜向虚线为过原点速度图线的切线．已知ab杆与导轨间动摩擦因数为μ，重力加速度为g，求：
（1）匀强磁场的磁感应强度B；
（2）t₂时刻回路的电功率P；
（3）ab运动过程回路中产生的焦耳热Q．

Answer 1

分析 （1）根据t=0时刻图象的斜率求加速度，由牛顿第二定律求得拉力．t₂时刻ab达最大速度v₀，此时ab棒受力平衡，由平衡条件求磁感应强度B；
（2）由上题的结果求出感应电流，再求回路的电功率P；或根据功能关系求解．
（3）根据牛顿第二定律和加速度的定义式，求出ab棒运动的总位移，再由能量守恒求焦耳热．

解答 解：（1）t=0时刻ab棒的加速度 a=$\frac{{v}_{0}}{{t}_{1}}$
根据牛顿第二定律有 F-μmg=ma
t₂时刻ab达最大速度v₀，此时ab棒受力平衡，则有
  F=μmg+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{R+r}$
联立以上三式解得 B=$\sqrt{\frac{m（R+r）}{{L}^{2}{t}_{1}}}$
（2）t₂时刻回路的电功率 P=（F-μmg）v₀=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{{t}_{1}}$
（3）对加速运动过程，有
   F-μmg-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$=ma=m$\frac{△v}{△t}$
  （F-μmg-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$）△t=m△v
即（F-μmg）△t-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}△x}{R+r}$=m△v
两边求和得：$\sum_{\;}^{\;}$（F-μmg）△t-$\sum_{\;}^{\;}$$\frac{{B}^{2}{L}^{2}△x}{R+r}$=$\sum_{\;}^{\;}$m△v
可得 （F-μmg）t₂-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{x}_{1}}{R+r}$=mv₀，
得加速运动的位移 x₁=v₀（t₂-t₁）
同理得减速运动得-μmg-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$=ma=m$\frac{△v}{△t}$
-μmg△t-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}△x}{R+r}$=m△v
两边求和得：$\sum_{\;}^{\;}$（-μmg）△t-$\sum_{\;}^{\;}$$\frac{{B}^{2}{L}^{2}△x}{R+r}$=$\sum_{\;}^{\;}$m△v
-μmg（t₃-t₂）-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{x}_{2}}{R+r}$=-mv₀，
得减速运动的位移 x₂=v₀t₁-μg（t₃-t₂）t₁．
根据能量守恒得：
回路中产生的焦耳热 Q=F•x₁-μmg（x₁+x₂） 
联立解得 Q=$\frac{m{v}_{0}^{2}（{t}_{2}-{t}_{1}）}{{t}_{1}}$-μmgv₀（t₂-t₁）-μ²mg²（t₃-t₂）t₁．
答：
（1）匀强磁场的磁感应强度B是$\sqrt{\frac{m（R+r）}{{L}^{2}{t}_{1}}}$；
（2）t₂时刻回路的电功率P是$\frac{m{v}_{0}^{2}}{{t}_{1}}$；
（3）ab运动过程回路中产生的焦耳热Q是$\frac{m{v}_{0}^{2}（{t}_{2}-{t}_{1}）}{{t}_{1}}$-μmgv₀（t₂-t₁）-μ²mg²（t₃-t₂）t₁．

点评 解决本题的关键根据牛顿第二定律和加速度的定义式，运用积分法分析位移，要注意研究图象斜率的意义，由电磁感应与力学规律结合解答．