题目内容
14．
电磁弹是我国最新研究的重大科技项目，原理可用下述模型说明．如图甲所示，虚线MN右侧存在竖直向上的匀强磁场，边长为L的正方形单匝金属线框abcd放在光滑水平面上，电阻为R，质量为m，ab边在磁场外侧紧靠MN虚线边界．t=0时起磁感应强度B随时间t的变化规律是B=B0+kt（k为大于零的常数）．空气阻力忽略不计．（1）求t=0时刻，线框中感应电流的功率P；
（2）若用相同的金属线绕制相同大小的n匝线框，如图乙所示，在线框上加一质量为M的负载物，证明：载物线框匝数越多，t=0时线框加速度越大．
分析 （1）先计算出线框中感应电动势，再代入功率的公式计算出线框中感应电流的功率P；
（2）先计算出n匝线框中感应电动势，从而计算出安培力的大小，再由牛顿第二定律算出加速度来证明：载物线框匝数越多，t=0时线框加速度越大．
解答 解：（1）t=0时刻线框中的感应电动势，由法拉第电磁感应定律得
${E}_{0}=\frac{△B}{△t}{L}^{2}$
功率$P=\frac{{E}^{2}}{R}$=$\frac{{k}^{2}{L}^{4}}{R}$；
（2）n匝线框中时刻产生的感应电动势
${E}_{0}=n\frac{△Φ}{△t}$
线框的总电阻R总=nR
线框中的感应电流$I=\frac{{E}_{0}}{{R}_{总}}$
t=0时刻线框受到的安培力F=nB0IL
设线框的加速度为a，根据牛顿第二定律有
F=（nm+M）a
解得：$a=\frac{k{B}_{0}{L}^{3}}{（\frac{M}{n}+m）R}$
可知n越大，a越大
证得：若用相同的金属线绕制相同大小的n匝线框，如图乙所示，在线框上加一质量为M的负载物，载物线框匝数越多，t=0时线框加速度越大．
答：（1）求t=0时刻，线框中感应电流的功率P为$\frac{{k}^{2}{L}^{4}}{R}$；
（2）证明过程见解析．
点评 这是一道结合现代科技的电磁感应的综合应用题，利用法拉第电磁感应定律求解感应电动势的大小，再分析受力情况，结合牛顿第二定律，求解加速度，综合性较强，难度较大．
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