题目内容

如图,ABCD是边长为的正方形。质量为、电荷量为的电子以大小为的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场。电子从BC边上的任意点入射,都只能从A点射出磁场。不计重力,求:

(1)次匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小;

(2)此匀强磁场区域的最小面积。

见解析


解析:

(1)设匀强磁场的磁感应强度的大小为B。令圆弧是自C点垂直于BC入射的电子在磁场中的运行轨道。电子所受到的磁场的作用力

应指向圆弧的圆心,因而磁场的方向应垂直于纸面向外。圆弧的圆心在CB边或其延长线上。依题意,圆心在A、C连线的中垂线上,故B 点即为圆心,圆半径为按照牛顿定律有

   联立①②式得

(2)由(1)中决定的磁感应强度的方向和大小,可知自点垂直于入射电子在A点沿DA方向射出,且自BC边上其它点垂直于入射的电子的运动轨道只能在BAEC区域中。因而,圆弧是所求的最小磁场区域的一个边界。

为了决定该磁场区域的另一边界,我们来考察射中A点的电子的速度方向与BA的延长线交角为(不妨设)的情形。该电子的运动轨迹如右图所示。

图中,圆的圆心为O,pq垂直于BC边 ,由③式知,圆弧的半径仍为,在D为原点、DC为x轴,AD为轴的坐标系中,P点的坐标

这意味着,在范围内,p点形成以D为圆心、为半径的四分之一圆周,它是电子做直线运动和圆周运动的分界线,构成所求磁场区域的另一边界。

因此,所求的最小匀强磁场区域时分别以为圆心、为半径的两个四分之一圆周所围成的,其面积为

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