Question

（2009?海南）如图，ABCD是边长为a的正方形．质量为m、电荷量为e的电子以大小为v₀的初速度沿纸面垂直于BC变射入正方形区域．在正方形内适当区域中有匀强磁场．电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场．不计重力，求：
（1）此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；
（2）此匀强磁场区域的最小面积．

Answer 1

分析：（1）由题意可确定出粒子运动的圆心和半径，则由洛仑兹力及牛顿第二定律可求得磁感应强度B；
（2）由几何关系可得出最小磁场的两个边界，则由几何关系即可求得磁场区域的面积．

解答：解：（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为B．令圆弧

AEC

是自C点垂直于BC入射的电子在磁场中的运行轨道．电子所受到的磁场的作用力f=ev₀B
应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外．圆弧

AEC

的圆心在CB边或其延长线上．依题意，圆心在A、C连线的中垂线上，故B 点即为圆心，圆半径为a按照牛顿定律有f=m

v 2 0

2

联立①②式得B=

mv0

ea

（2）由（1）中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自C点垂直于BC入射电子在A点沿DA方向射出，且自BC边上其它点垂直于入射的电子的运动轨道只能在BAEC区域中．因而，圆弧

AEC

是所求的最小磁场区域的一个边界．
为了决定该磁场区域的另一边界，我们来考察射中A点的电子的速度方向与BA的延长线交角为θ（不妨设0≤θ＜

π

2

）的情形．该电子的运动轨迹qpA如图所示．
图中，圆

AP

的圆心为O，pq垂直于BC边，由③式知，圆弧

AP

的半径仍为a，在D为原点、DC为x轴，AD为y轴的坐标系中，P点的坐标（x，y）为x=asinθ
y=-[a-（a-acosθ）]=-acosθ
这意味着，在范围0≤θ≤

π

2

内，p点形成以D为圆心、a为半径的四分之一圆周

AFC

，它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界．
因此，所求的最小匀强磁场区域时分别以B和D为圆心、a为半径的两个四分之一圆周

AEC

和

AFC

所围成的，其面积为S=2(

1

4

πa2-

1

2

a2)=

π-2

2

a2

点评：在带电粒子在磁场中运动中，要注意圆心及半径的确定；同时应利用好几何关系；此类问题对学生的要求较高，要求学生具有较好的数学功底；在做题时，要注意画图．