题目内容

5.一湖的南北两岸各有-码头A和B,有甲、乙两船分别于AB间往返穿梭匀速航行,且船每到一码头立即返航(不计船在码头停靠的间).某刻,甲和乙刚好分别自A和B出发,此后,两船的第一次相遇距A点300米,第二次相遇距B点200米,求湖宽多少?自第一相遇后,甲船至少还要航行多少米,这两船才会在第一次相遇的位置同样地相遇.

分析 据两次相遇用位移关系列出方程联合求解湖宽;再利用两船的速度与胡宽列出两船同时到达AB两岸的路程关系,再据题意求出两船所走的趟数关系即可求解.

解答 解:设湖宽为L,甲乙两船的速度分别为v1、v2
设第一次相遇的时间为t,所以:
                v1t=300   ①
               v1t+v2t=L      ②
联立①②得:$\frac{{v}_{1}}{{v}_{1}+{v}_{2}}$=$\frac{300}{L}$    ③
同理第二次相遇可推导出:$\frac{{v}_{1}}{{v}_{1}+{v}_{2}}$=$\frac{200+L}{3L}$   ④
联立③④解得:L=700m   
       $\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\frac{3}{4}$  ⑤
由于两船在第一次相遇的位置同样地相遇,所以两船应同时到达两岸(甲和乙刚好分别自A和B出发),设甲、乙两船同时到达两岸所用的时间为t1,所走的趟数分别为n、m(为整数)
所以:v1t1=700n   ⑥
   v2t2=700m   ⑦
联立⑤⑥⑦得:$\frac{n}{m}$=$\frac{3}{4}$
两船应同时到达两岸(甲和乙刚好分别自A和B出发),所以n=6;m=8,才能保证回到原岸.
所以甲船至少再行驶的距离:s=6L-300m+300m=4200m
答:湖宽700m,自第一相遇后,甲船至少还要航行4200米,这两船才会在第一次相遇的位置同样地相遇.

点评 本题难度较大,一是需要明确运动示意图,找出各量间的关系,特别是理解好两船两船在第一次相遇的位置同样地相遇,否则易出现少或多300m的情况;二是所列方程的数据处理,否则易出现无法求解现象.

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