Question

如图所示为车站使用的水平传送带的模型，它的水平传送带的长度为l=8m，传送带的皮带轮的半径为r=0.2m，传送带的上部距地面的高度为h=0.45m，现有一个旅行包（视为质点）以v₀=10m/s的初速度水平地滑上水平传送带．已知旅行包与皮带之间的动摩擦因数为μ=0.6，g=10m/s²．试讨论下列问题：
（1）若传送带静止，旅行包滑到B端时，人若没有及时取下，旅行包将从B端滑落，则包的落地点距B端的水平距离为多少？
（2）设皮带轮顺时针匀速转动，并设水平传送带长度仍为l=8m，旅行包滑上传送带的初速度恒为v₀=10m/s．当皮带的角速度ω值在什么范围内，旅行包落地点距B端的水平距离始终为（1）中所求的距离？若皮带的角速度ω₁=40rad/s，旅行包落地点距B端的水平距离又是多少？

Answer 1

分析：（1）旅行包向右滑动，受到重力、支持力和滑动摩擦力，根据牛顿第二定律列式求加速度，然后根据速度位移公式列式求解末速度，最后根据平抛运动的分位移公式求解水平射程；
（2）如果旅行包一直减速，到达最右端的速度与传送带不动时的速度相同，则平抛的初速度相同，射程也就相同，故只需传送带的速度小于旅行箱到达最右端的速度即可；皮带的角速度ω₁=40rad/s，旅行箱先减速后匀速，根据运动学公式和平抛运动的分位移公式列式求解．

解答：解：（1）若传送带静止，则旅行包滑上水平传送带后做匀减速运动，其加速度a=μg=6m/s²
旅行包到达B端的水平速度为v=

v 2 0 -2al

=2m/s              
旅行包离开传送带后做平抛运动，落地点距B端的水平距离为
S=vt=v

2h g

=0.6m  
即包的落地点距B端的水平距离为0.6m．
（2）若皮带轮顺时针匀速转动，要使旅行包落地点距B端的水平距离始终为（1）中所示的水平距离，则旅行包须做匀减速运动，皮带轮的临界角速度为
ω0=

v

r

=10rad/s                       
所以ω的取值范围是ω≤10rad/s；                                    
当ω₁=40rad/s时，皮带线速度v₁=ω₁r=8m/s
当旅行包速度也为v₁=8m/s，在皮带上运动了S=

v 2 0 - v 2 1

2a

=3m＜8m
以后旅行包做匀速直线运动．所以旅行包到达B端的速度也为8m/s．包的落地点距B端的水平距离S1=v1

2h g

=2.4m；
故当皮带的角速度ω值的取值范围是ω≤10rad/s时，旅行包落地点距B端的水平距离始终为（1）中所求的距离，若皮带的角速度ω₁=40rad/s，旅行包落地点距B端的水平距离为2.4m．

点评：本题关键是对小滑块的运动情况分析清楚，然后根据牛顿第二定律、运动学公式和平抛运动的分位移公式列式求解．