Question

如图甲所示，放置在水平桌面上的两条不计电阻的光滑导轨间的距离L=1m，质量m=3kg，长为1m，电阻为r的光滑导体棒放在导轨上，导轨左端与阻值R=3Ω的电阻相连，导轨所在位置有磁感应强度为B=2T的足够大的匀强磁场，磁场的方向垂直导轨平面向下，现在给导体棒施加一个水平向右的拉力F，乙图是导体棒运动的v-t图象，其中OA、BC段是直线，AB段是曲线．假设在1s以后拉力的功率保持不变，3s后拉力F=10N，导体棒在运动过程中始终与导轨垂直，且接触良好．g取10m/s²，设导轨足够长，求：
（1）电阻r的大小．
（2）t=0.6s时，拉力F的大小．
（3）计算1s到3s的时间内电阻R上产生的热量．

Answer 1

分析：（1）由图象可知，3s后导体棒做匀速直线运动，处于平衡状态，由图象可以求出导体棒的速度，由E=BIL、欧姆定律、安培力公式可以求出导体棒受到的安培力，然后由平衡条件列方程求出电阻r的大小．
（2）由图象可知，在0～1s时间内，导体棒做匀加速直线运动，由图象求出导体棒的加速度，由速度公式求出t=0.6s时的速度，由安培力公式求导体棒受到的安培力，最后由牛顿第二定律求出此时的拉力．
（3）由P=Fv求出1～3s内拉力的功率，由能量守恒定律求出在此期间电阻R上产生的热量．

解答：解：（1）由图象可知，导体棒运动的速度达到10m/s时开始做匀速运动，
导体棒匀速运动的速度v=10m/s．
匀速运动后导体棒上的电动势：E=BLv，
导体棒受的安培力：F₁=BIL=B

E

r+R

L=

B2L2v

r+R

，
导体棒做匀速直线运动，处于平衡状态，
由平衡条件得：F=

B2L2v

r+R

，
电阻r=

B2L2 v

F

-R=

22×1×10

10

-3=1Ω；
（2）由图象可知，在0～1s内，导体棒做匀速直线运动，
加速度a=

△v

△t

=

5

1

=5m/s²，
在时间t=0.6s时导体棒的速度v′=at=5×0.6=3m/s．
此时导体棒受到的安培力：F₂=BIL=

B2L2v′

r+R

=

22×1×3

1+3

=3N，
对导体棒，由牛顿定律得：F-F₂=ma，
拉力F=-F₂+ma=3+3×5=18N；
（3）在1s～3s的t=2s内，F的功率恒定P=Fv=10×10=100W，
由图示可知，t₁=1s时，v₁=5m/s，t₂=3s时，v₂=10m/s，
由能量守恒定律得：Pt-Q=

1

2

mv₂²-

1

2

mv₁²，代入数据解得：Q=87.5J，
R上产生的热量Q_R=

QR

r+R

=

87.5×3

1+3

=65.625J；
答：（1）电阻r的大小为1Ω．（2）t=0.6s时，拉力F的大小为18N．（3）计算1s到3s的时间内电阻R上产生的热量为65.625J．

点评：本题是一道力、电、磁综合题，考查了求电阻、力、热量等问题，分析清楚导体棒的运动过程、由图象求出导体棒的时间对应的速度、根据图象判断出导体棒的运动性质、应用相关公式即可正确解题．