Question

20．如图所示，光滑的金属导轨间距为L，导轨平面与水平面成α角，导轨下端接有阻值为R的电阻，质量为m的金属细杆ab与绝缘轻质弹簧相连并静止在导轨上，弹簧劲度系数为k，上端固定，弹簧与导轨平面平行，整个装置处在垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中，磁感应强度为B．现给杆一沿轨道向下的初速度v₀，杆向下运动至速度为零后，再沿轨道平面向上运动达最大速度，大小为v₁，然后减速为零，再沿轨道平面向下运动…一直往复运动到静止（导轨与金属杆的电阻忽略不计）．试求：
（1）细杆获得初速度瞬间，通过R的电流大小；
（2）当杆速度为v₁时离最初静止时位置的距离L₁；
（3）杆由初速度v₀开始运动直到最后静止，电阻R上产生的焦耳热Q．

Answer 1

分析 （1）给杆一沿轨道向下的初速度v₀，切割磁感线产生的感应电动势为 E=BLv₀；根据欧姆定律可求出通过R的电流大小．
（2）由题知道杆沿轨道平面向上运动的最大速度为v₁，此时杆所受的合外力为零．分别根据平衡条件和胡克定律求出杆静止时和速度为v₁时弹簧伸长的长度，由几何关系可求得L₁；
（3）杆由初速度v₀开始运动直到最后静止，弹簧的弹性势能不变，杆还静止在开始的位置，动能转化为内能，根据能量守恒求解焦耳热．

解答 解：（1）细杆获得初速度瞬间，产生的感应电动势为：E=BLv₀；
根据欧姆定律得：I₀=$\frac{E}{R}$
可得通过R的电流大小为：I₀=$\frac{BL{v}_{0}}{R}$．
（2）设杆最初静止不动时弹簧伸长x₀，则有：kx₀=mgsinα
当杆的速度为v₁时弹簧伸长x₁，由平衡条件得：kx₁=mgsinα+BI₁L
此时有：I₁=$\frac{BL{v}_{1}}{R}$
而 L₁=x₁-x₀
联立解得：L₁=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{kR}$
（3）杆最后静止时，杆受到重力、导轨的支持力和弹簧的拉力，根据平衡条件和胡克定律可知，弹簧伸长的长度与原来静止时相同，所以杆静止在初始位置，由能量守恒得：
  Q=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
答：
（1）细杆获得初速度瞬间，通过R的电流大小为 $\frac{BL{v}_{0}}{R}$．
（2）当杆速度为v₁时离最初静止时位置的距离 L₁为 $\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{kR}$．
（3）杆由初速度v₀开始运动直到最后静止，电阻R上产生的焦耳为$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$．

点评 本题是导体棒在导轨上滑动的类型，正确分析杆的运动状态，确定其受力情况是关键，并能结合能量守恒分析．