Question

12．如图所示，小球m₁从C点的正上方h处自由落下，与此同时小球m₂从斜面上的A点由静止开始运动，已知AB=DE=0.9m，BC=CD=1.2m，h=45m，θ=30°不计空气阻力，所有轨道表面光滑，且小球经过B点和D点位置时能平滑过渡不引起速度大小变化，重力加速度g=10m/s²，试求
（1）小球m₁落至C点的速度为多大？
（2）小球m₂第一次运动至C点的时间为多少？
（3）请通过计算判断小球m₁第一次运动至C点时能否恰好与小球m₂发生碰撞？

Answer 1

分析 （1）根据速度位移公式求出小球m₁落至C点的速度大小；
（2）小球${m}_{2}^{\;}$先匀加速后匀速运动，结合牛顿第二定律和位移时间公式求出运动的时间．
（3）求出${m}_{1}^{\;}$第一次运动到C点的时间，再求出${m}_{2}^{\;}$在和${m}_{1}^{\;}$相等时间到达的位置，即可判断两小球能否碰撞；

解答 解：（1）由运动学公式得：${v}_{\;}^{2}=2gh$
得：v=$\sqrt{2×10×45}$=30m/s
（2）A-B小球${m}_{2}^{\;}$运动时间为${t}_{1}^{\;}$，根据牛顿第二定律有：
$a=\frac{mgsinθ}{m}=gsinθ$=10×$\frac{1}{2}$$m/{s}_{\;}^{2}$=5$m/{s}_{\;}^{2}$
${s}_{AB}^{\;}=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$
得：${t}_{1}^{\;}=\sqrt{\frac{2×0.9}{5}}s=0.6s$
B-C 小球${m}_{2}^{\;}$运动时间为${t}_{2}^{\;}$，B点速度为：${v}_{B}^{\;}=a{t}_{1}^{\;}=5×0.6m/s=3m/s$
BC段位移为：${s}_{BC}^{\;}={v}_{B}^{\;}{t}_{2}^{\;}=3{t}_{2}^{\;}=1.2$
解得：${t}_{2}^{\;}=0.4s$
从A到C的时间为：${t}_{AC}^{\;}={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}=0.6+0.4=1s$
（3）小球m₁运动到C的时间为t₃，则有：$h=\frac{1}{2}g{t}_{3}^{2}$
${t}_{3}^{\;}=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×45}{10}}=3s$
据题有：C-E先匀速再匀减速到速度为零，有：${t}_{CE}^{\;}=t=1s$
E-C先匀加速再匀速，有：${t}_{EC}^{\;}=t=1s$
因为${t}_{AC}^{\;}+{t}_{CE}^{\;}+{t}_{EC}^{\;}=3s$所以小球${m}_{1}^{\;}$恰好与小球${m}_{2}^{\;}$发生碰撞
答：（1）小球m₁落至C点的速度为30m/s
（2）小球m₂第一次运动至C点的时间为1s
（3）小球m₁第一次运动至C点时能恰好与小球m₂发生碰撞

点评 本题是自由落体运动、牛顿第二定律、运动学公式的综合运用问题，关键搞清楚物体的运动过程，灵活运用运动学公式求解，不难．