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题目内容

如图所示（俯视），MN和PQ是两根固定在同一水平面上的足够长且电阻不计的平行金属导轨，两导轨间距L=0.2m，其间有一个方向垂直水平面竖直向下的匀强磁场B₁=5.0T．导轨上NQ之间接一电阻R₁=0.40Ω，阻值为R₂=0.10Ω的金属杆垂直导轨放置并与导轨始终保持良好接触．两导轨右端通过金属导线分别与电容器C的两极相连．电容器C紧挨带有小孔的固定绝缘弹性圆筒，圆筒壁光滑，筒内有垂直水平面竖直向下的匀强磁场B₂，O是圆筒的圆心，圆筒的内半径r=0.40m．

（1）用一个方向平行于MN水平向左且功率P=80W的外力F拉金属杆，使杆从静止开始向左运动．已知杆受到的摩擦阻力大小恒为f=6N，求求当金属杆最终匀速运动时的速度大小；
（2）计算金属杆匀速运动时电容器两极板间的电势差；
（3）当金属杆处于（1）问中的匀速运动状态时，电容器C内紧靠极板D处的一个带正电的粒子加速后从a孔垂直磁场B₂并正对着圆心O进入圆筒中，该带电粒子与圆筒壁碰撞两次后恰好又从小孔a射出圆筒．已知该带电粒子每次与筒壁发生碰撞时电量和能量都不损失，不计粒子的初速度、重力和空气阻力，粒子的荷质比

=5×10⁷ C/kg，求磁感应强度B₂的大小．

分析：（1）金属杆在功率恒定的外力F作用下，先做加速度变小的加速运动，后做匀速运动，匀速运动时，外力F与安培力、摩擦力平衡，推导出安培力的表达式，由平衡条件求出金属杆匀速运动时的速度大小；
（2）电容器C与电阻R₁并联，电容器两极板间的电势差等于R₁的电压，由欧姆定律求出电容器两极板间的电势差．
（3）带电粒子先经加速电场加速，由动能定理可求出带电粒子进入圆筒时的速率v，带电粒子与圆筒壁碰撞两次，恰好将圆筒壁三等分，由几何知识得每段轨迹圆弧对应的圆心角为60°，并求出轨迹的半径．带电粒子在圆筒内由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可求解B₂．

解答：解：（1）金属杆先做加速度变小的加速运动，最终以最大速度v_m匀速运动，
则电动势：E=B₁Lv_m
回路电流：I=

R1+R2

安培：力F=B₁IL
杆受力平衡：

-F-f=0
联立代入数据得：v_m=5m/s
（2）C与电阻R₁并联，两端电压相等，杆匀速运动时电容C板间电压：U=

R1+R2

E=4.0V
（3）设杆匀速运动时带电粒子进入圆筒的速率为v、在磁场中作匀速圆周运动的半径为R
根据动能定理：qU=

mv2
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动：qvB2=m

由题意知，2个碰撞点与小孔a恰好将圆筒壁三等分，粒子在圆筒内的轨迹由3段相问的圆弧组成，每段轨迹圆弧对应的圆心角为60°，
由几何关系可得：tan

解得：R=

m
联立解得：B2=

2mU

×10 ^-3 T
答：（1）当金属杆最终匀速运动时的速度大小为5m/s；
（2）金属杆匀速运动时电容器两极板间的电势差为4V；
（3）磁感应强度B₂的大小为

×10-3T．

点评：本题中金属杆的运动与汽车恒定功率起动类似，要会用动力学方法分析杆的运动情况．对于第2问，还可以研究带电粒子与圆筒碰撞n次的情况．

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