题目内容

15.如图甲所示,两根足够长、电阻不计的光滑平行金属导轨相距为L1=1m,导轨平面与水平面成θ=30°角,上端连接阻值R=1.5Ω的电阻;质量为m=0.2kg、阻值r=0.5Ω的匀质金属棒ab放在两导轨上,距离导轨最上端为L2=4m,棒与导轨垂直并保持良好接触.整个装置处于一匀强磁场中,该匀强磁场方向与导轨平面垂直,磁感应强度大小随时间变化的情况如图乙所示.(g=10m/s2

(1)保持ab棒静止,在0~4s内,通过金属棒ab的电流多大?方向如何?
(2)为了保持ab棒静止,需要在棒的中点施加了一平行于导轨平面的外力F,求当t=2s时,外力F的大小和方向;
(3)5s后,撤去外力F,金属棒将由静止开始下滑,这时用电压传感器将R两端的电压即时采集并输入计算机,在显示器显示的电压达到某一恒定值后,记下该时刻棒的位置,测出该位置与棒初始位置相距2.4m,求金属棒此时的速度及下滑到该位置的过程中在电阻R上产生的焦耳热.

分析 (1)在0~4s内,由法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律求解.
(2)根据法拉第电磁感应定律求出0~4s内感应电动势,再根据闭合电路欧姆定律求出电流,从而求出安培力,利用棒子的平衡求出外力F的大小和方向.
(3)导体棒由静止下滑,受重力、支持力、安培力,当下滑的加速度减小为0时,速度稳定,电压也稳定,根据平衡求出此时的速度,再根据能量守恒求出总热量,根据电流时刻相同,${Q}_{R}=\frac{R}{R+r}{Q}_{总}$.

解答 解:(1)在0~4s内,由法拉第电磁感应定律:
$E=\frac{△Φ}{△t}=\frac{△B}{△t}{L_1}{L_2}=\frac{1}{4}×1×4V=1V$
由闭合电路欧姆定律:
$I=\frac{E}{R+r}=\frac{1}{1.5+0.5}A=0.5A$
方向由a→b.   
(2)当t=2s时,ab棒受到沿斜面向上的安培力F=BIL1=0.5×0.5×1N=0.25N
对ab棒受力分析,由平衡条件:F+F-mgsin30°=0
F=mgsin30°-F=(0.2×10×0.5-0.25)N=0.75N
方向沿导轨斜面向上.    
(3)ab棒沿导轨下滑切割磁感线产生感应电动势,有:E′=B′L1v
产生的感应电流 ${I^'}=\frac{E^'}{R+r}=\frac{{{B^'}{L_1}v}}{R+r}$
棒下滑至速度稳定时,棒两段电压也恒定,此时ab棒受力平衡,
有:mgsin30°=B′I′L1
解得:$v=\frac{{mg(R+r)sin{{30}°}}}{{{B^'}^2{L_1}^2}}=\frac{0.2×10×(1.5+0.5)×0.5}{{{{1.0}^2}×{1^2}}}m/s=2m/s$
由动能定理,得$mgSsin{30°}-{Q_总}=\frac{1}{2}m{v^2}-0$
${Q_总}=mgSsin{30°}-\frac{1}{2}m{v^2}=(0.2×10×2.4×0.5-\frac{1}{2}×0.2×{2^2})J=2J$
∴${Q_R}=\frac{R}{R+r}{Q_总}=\frac{1.5}{1.5+0.5}×2J=1.5J$
答:(1)保持ab棒静止,在0~4s内,通过金属棒ab的电流是0.5A,方向由a→b.
(2)为了保持ab棒静止,需要在棒的中点施加了一平行于导轨平面的外力F,求当t=2s时,外力F的大小是0.75N,方向沿导轨斜面向上.    
(3)金属棒此时的速度是2m/s,下滑到该位置的过程中在电阻R上产生的焦耳热是1.5J.

点评 解决本题的关键掌握法拉第电磁感应定律E=n$\frac{△φ}{△t}$=n $\frac{△B}{△t}$S,以及导体棒切割产生的感应电动势E=BLv.

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