题目内容

4．随着我国登月计划的顺利实施，我国宇航员的脚步踏上月球将不再是梦想．如果一位站在月球表面的宇航员将一小球以速度v（远小于月球的第一宇宙速度）从距月球表面高为h处水平抛出，测得小球落到月球表面时速度大小为$\sqrt{5}$v．通过查阅资料知道月球的半径为R，引力常量为G，设物体只受月球引力的作用．求：
（1）小球在空中运动的时间t；
（2）月球的质量M和月球的第一宇宙速度v1；
（3）距月球表面高H处的探月卫星绕月球做圆周运动的向心加速度大小．

分析 （1）根据平抛运动规律求出小球在空中运动的时间及月球表面的重力加速度；
（2）根据月球表面重力与万有引力相等求得月球的质量，再根据万有引力提供圆周运动向心力求得月球的第一宇宙速度；
（3）根据万有引力提供圆周运动向心力求得离月球表面H高处卫星的向心加速度．

解答 解：（1）根据动能定理可得：
$mgh=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
可得月球表面的重力加速度为：g=$\frac{2{v}^{2}}{h}$
根据平抛运动规律可知，在竖直方向有：
gt=$\sqrt{{v}_{2}^{2}-{v}^{2}}$
代入重力加速度g，可得：t=$\frac{h}{v}$
（2）在月球表面重力与万有引力相等有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$
可得月球的质量为：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$=$\frac{2{v}^{2}{R}^{2}}{Gh}$
第一宇宙速度是绕月球表面飞行的卫星的速度，根据万有引力提供圆周运动向心力有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
可得月球的第一宇宙速度为：v1=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$v\sqrt{\frac{2R}{h}}$
（3）离月球表面H处的向心加速度满足：
$G\frac{mM}{（R+H）^{2}}=m{a}_{n}$
所以有：an=$\frac{GM}{（R+H）^{2}}$=$\frac{2{v}^{2}{R}^{2}}{（R+H）^{2}h}$
答：（1）小球在空中运动的时间t为$\frac{h}{v}$；
（2）月球的质量M和月球的第一宇宙速度v1为$v\sqrt{\frac{2R}{h}}$；
（3）距月球表面高H处的探月卫星绕月球做圆周运动的向心加速度大小为$\frac{2{v}^{2}{R}^{2}}{（R+H）^{2}h}$．

点评 掌握平抛运动的规律知道在星球表面重力与万有引力相等和万有引力提供圆周运动向心力是正确解题的关键．

练习册系列答案
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6．某空间存在着如图（甲）所示的足够大的，沿水平方向的匀强磁场．在磁场中A、B两个物块叠放在一起，置于光滑绝缘水平地面上，物块A带正电，物块B不带电且表面绝缘．在t1=0时刻，水平恒力F作用在物块B上，使A，B由静止开始做加速度相同的运动．在A、B一起向左运动的过程中，以下说法中正确的是（　　）
A．图（乙）可以反映A所受洛伦兹力大小随时间t变化的关系，图中y表示洛伦兹力大小
B．图（乙）可以反映A对B的摩擦力大小随时间t变化的关系，图中y表示摩擦力大小
C．图（乙）可以反映A对B的压力大小随时间t变化的关系，图中y表示压力大小
D．图（乙）可以反映B对地面的压力大小随时间t变化的关系，图中y表示压力大小
7．如图所示，三个质量均为m的恒星系统，组成一个边长为a的等边三角形．设它们仅受彼此之间的万有引力作用，且正在以三角形的中心O点为圆心，在三角形所在的平面内做匀速圆周运动．已知引力常量为G，则（　　）
A．每个恒星受到的引力大小为$\frac{G{m}^{2}}{{a}^{2}}$
B．每个恒星受到的引力大小为$\frac{Gm}{a}$
C．每个恒星的向心加速度大小为$\frac{\sqrt{3}Gm}{{a}^{2}}$
D．此系统的角速度大小为$\sqrt{\frac{3Gm}{{a}^{3}}}$
4．作用力与反作用力总是大小相等，方向相反，作用在两个相互作用的物体上，这就是牛顿第三定律．
11．如图所示，理想变压器原、副线圈匝数比n1：n2=4：1，副线圈通过电阻R=1Ω的输出电线对用户供电，原线圈输入电压u=1410sin100πtV，并能保证“220V，40W”电灯正常发光．求：
（1）副线圈两端的电压；
（2）输电线上的电流；
（3）用户处最多可以接入的灯泡盏数．
9．如图所示，图为电热毯的电路示意图，电热毯接在电源插座上，电热毯被加热到一定程度后，由于装置P的作用，使加在电热丝ab两端的电压变成图所示的波形，从而进入保温状态．若电热丝的电阻保持不变，此时图甲中交流电压表读出交流电的有效值是（　　）
A．110VB．220 VC．156 VD．311 V
16．在图中，将电灯与电容器串联接入交变电流的电路中，灯泡发光，则（　　）
A．自由电荷通过了电容器两板间的绝缘电介质
B．自由电荷没有通过电容器两板间的绝缘电介质
C．接入交变电源使电容器两极板间的绝缘电介质变成了导体
D．电容器交替进行充放电，电路中就有电流，表现为交变电流“通过”了电容器
13．如图所示的平面直角坐标系内分布有足够大的匀强磁场，磁感应强度B=0.05T，方向垂直纸面向里，x轴上相距为L=0.12m的P、Q两点关于原点对称，两点处均有一个粒子发射器（发射一个粒子后即移开），能分别在纸面内沿y轴正方向发射带电粒子，已知P点发射的粒子带负电，速率为v1=3.0×104m/s，Q点发射的粒子带正电，粒子的比荷均为$\frac{q}{m}$=2.0×107C/kg，Q处的粒子先发射，P处的粒子后发射，发射的时间差为△t=$\frac{16π}{180}$×10-6s，已知P处发射的粒子运动t=$\frac{127π}{180}$×10-6s时间后，恰与Q处发射的粒子在第二象限内相遇，不计粒子的重力和粒子之间的相互作用力．
（1）求两粒子相遇点S（图中未画出）的坐标；
（2）求Q处发射粒子的速率v2；
（3）P处发射粒子后，调节Q处发射粒子速率v2的值，发现不管△t取何值，两粒子总不能相遇，求这种情形下v2的值．
14．带电量分别-2Q和+4Q的两个完全相同的金属小球，相距为L（L远大于小球半径）时斥力的大小为F．现把两个小球互相接触后放置在距离为$\frac{L}{4}$的地方，则现在两个小球之间的相互作用力大小为（　　）
A．2FB．4FC．$\frac{F}{8}$D．$\frac{F}{4}$

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