Question

7．在如图所示的倾角为θ的光滑斜面上，存在着两个匀强磁场，ee′和ff′之间的区域的磁场方向垂直斜面向上，磁感应强度大小为B，ff′和gg′之间的区域的磁场方向垂直斜面向下，磁感应强度大小为2B，这两个磁场的宽度均为L，一个质量为m、电阻为R、边长也为L的正方形导线框，由静止开始沿斜面下滑，当ab边刚越过ee′进入磁场时，导线框恰好以速度v₁做匀速直线运动；当ab边下滑到 ff′与gg′的中间位置时，线框又恰好以速度v₂做匀速直线运动，从ab边进入ee′到ab边到达ff′和gg′的中间位置的过程中，线框的动能变化量为△E_k，重力对线框做功为W₁，安培力对线框做功为W₂，对该过程中的说法正确的有（　　）

• A． v₁：v₂=6：1
• B． v₁：v₂=9：1
• C． 最大瞬时加速度为7gsinθ
• D． △E_k=W₁-W₂

Answer 1

分析 线框的ab边刚越过ee′进入磁场后做匀速直线运动，对线框受力分析，由共点力的平衡条件可得出线框的速度v₁；
ab边到达ff′与gg′之间的中间位置时仍做匀速直线运动，同理由共点力的平衡条件可得出线框的速度v₂；由动能定理求解动能的增加量．由牛顿第二定律和安培力与速度的关系式求解加速度．

解答 解：AB、线框的ab边刚越过ee′时，回路中的感应电动势为：E₁=BLv₁；
感应电流为：I₁=$\frac{{E}_{1}}{R}$；
线框受到的安培力大小为：F₁=BI₁L=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$
根据平衡条件有：mgsinθ-F₁=0
解得：v₁=$\frac{mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
当ab边到达gg′与ff′间的中间置时，回路中感应电动势为：E₂=BLv₂+2BLv₂=3BLv₂；
感应电流为：I₂=$\frac{{E}_{2}}{R}$
线框受到的安培力大小为：F₂=2BI₂L+BI₂L=3BI₂L=$\frac{9{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}}{R}$
由平衡条件有：mgsinθ-$\frac{9{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}}{R}$=0
解得：v₂=$\frac{mgRsinθ}{9{B}^{2}{L}^{2}}$；则v₁：v₂=9：1．故A错误，B正确．
C、线框的ab边刚进入ff′与gg′间磁场时加速度最大，结合上题的结果可知，此时线框所受的安培力：F′=$\frac{9{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$
由上题：v₁=$\frac{mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$，
则得：F′=9mgsinθ
根据牛顿第二定律得：F′-mgsinθ=ma，
得：a=8gsinθ，故C错误．
D、根据动能定理可知，△E_k=W₁+W₂，故D错误．
故选：B．

点评 导体切割磁感线运动时，要抓住受力平衡及能量的转化及守恒的关系进行分析判断，关键要准确求出安培力与速度的关系式，注意ab和cd两边都可能受安培力．