Question

15．我国于2013年12月发射了“嫦娥三号”卫星，该卫星在距月球表面H处的环月轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，其运行的周期为T；随后嫦娥三号在该轨道上A点采取措施，降至近月点高度为h的椭圆轨道Ⅱ上，如图所示．若以R表示月球的半径，忽略月球自转及地球对卫星的影响．则下述判断正确的是（　　）

• A． 月球的质量为$\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{G{T}^{2}}$
• B． 月球的第一宇宙速度为$\frac{2π\sqrt{R（R+h）^{3}}}{TR}$
• C． “嫦娥三号”在环月轨道Ⅰ上需加速才能降至椭圆轨道Ⅱ
• D． “嫦娥三号”在图中椭圆轨道Ⅱ上的周期为$\sqrt{\frac{（2R+H+h）^{3}}{8（R+H）^{3}}}$T

Answer 1

分析 根据万有引力提供圆周运动向心力求解月球的质量和第一宇宙速度，再根据开普勒行星运动定律求解椭圆轨道的周期．

解答 解：A、根据万有引力提供圆周运动向心力由在轨道I上的运动有：
$G\frac{mM}{（R+H）^{2}}=m（R+H）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
解得月球的质量M=$\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{G{T}^{2}}$，故A正确；
B、据$\frac{GmM}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$得月球的第一宇宙速度v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}=\frac{2π\sqrt{R（R+H）^{3}}}{TR}$，故选项B错误；
C、嫦娥三号在轨道I上运动，要使其沿椭圆轨道运动可知，嫦娥三号需做近心运动，故在轨道I上需要对嫦娥三号减速才可以沿轨道II运动，故C错误；
D、根据开普勒第三定律，在轨道I和轨道II上的周期满足：$\frac{{R}_{I}^{3}}{{T}_{I}^{2}}=\frac{{R}_{II}^{3}}{{T}_{II}^{2}}$，即${T}_{II}=\sqrt{\frac{{R}_{II}^{3}}{{R}_{I}^{3}}}{T}_{I}$=$\sqrt{\frac{（2R+H+h）^{3}}{8（R+H）^{3}}}T$，故D正确．
故选：AD．

点评 解决本题的关键是抓住万有引力提供圆周运动向心力和开普勒行星运动定律，掌握基础知识是解题的主要入手点．