题目内容

如图1所示,两根间距为l1的平行导轨PQ和MN处于同一水平面内,左端连接一阻值为R的电阻,导轨平面处于竖直向上的匀强磁场中.一质量为m、横截面为正方形的导体棒CD垂直于导轨放置,棒到导轨左端PM的距离为l2,导体棒与导轨接触良好,不计导轨和导体棒的电阻.

(1)若CD棒固定,已知磁感应强度B的变化率随时间t的变化关系式为,求回路中感应电流的有效值I;
(2)若CD棒不固定,棒与导轨间最大静摩擦力为fm,磁感应强度B随时间t变
化的关系式为B=kt.求从t=0到CD棒刚要运动,电阻R上产生的焦耳热Q;
(3)若CD棒不固定,不计CD棒与导轨间的摩擦;磁场不随时间变化,磁感应强度为B.现对CD棒施加水平向右的外力F,使CD棒由静止开始向右以加速度a做匀加速直线运动.请在图2中定性画出外力F随时间t变化的图象,并求经过时间t,外力F的冲量大小I.
【答案】分析:(1)已知磁感应强度B的变化率,由法拉第电磁感应定律求得感应电动势瞬时表达式,由欧姆定律求得感应电流瞬时表达式,得到感应电流的最大值Im.由于交变电流是正弦式的,所以感应电流的有效值I=Im
(2)当磁感应强度B随时间t变化的关系式为B=kt,回路中产生恒定的感应电流,CD棒所受的安培力均匀增大,当安培力等于最大静摩擦力时,棒刚要运动.根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律得到安培力与时间的关系式,由安培力等于最大静摩擦力求出时间,由焦耳定律求Q.
(3)先推导出安培力与时间的关系式,根据牛顿第二定律外力F与时间的关系式,作出图象,图象的“面积”等于外力的冲量,即可由几何知识求得冲量I.
解答:解:(1)根据法拉第电磁感应定律
回路中的感应电动势
所以,电动势的最大值 Em=kl1l2
由闭合电路欧姆定律
由于交变电流是正弦式的,所以感应电流的有效值I=Im
解得,
(2)根据法拉第电磁感应定律,回路中的感应电动势
根据闭合电路欧姆定律
CD杆受到的安培力
当CD杆将要开始运动时,满足:FA=fm
由上式解得:CD棒运动之前,产生电流的时间
所以,在时间t内回路中产生的焦耳热Q=I2Rt=fml2
(3)CD棒切割磁感线产生的感应电动势E=Bl1v
时刻t的感应电流
CD棒在加速过程中,根据由牛顿第二定律 F-BIl1=ma
解得:
根据上式,可得到外力F随时间变化的图象如图所示,由图象面积可知:经过时间t,外力F的冲量I

解得:

答:
(1)回路中感应电流的有效值I为
(2)从t=0到CD棒刚要运动,电阻R上产生的焦耳热Q为fml2
(3)在图2中定性画出外力F随时间t变化的图象如图所示,经过时间t,外力F的冲量大小I为+mat
点评:本题是电磁感应与交变电流、力学、电路等多个知识的综合,根据法拉第电磁感应定律求感应电动势,由欧姆定律求感应电流是基本的思路.对于涉及棒的运动问题,安培力的推导是关键.
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