Question

如图，水平放置的金属薄板A、B间有匀强电场，已知B板电势高于A板．电场强度E=5×10⁵N/C，间距d=1.25m．A板上有一小孔，M恰好在孔的正上方，距离h=1.25m．从M处每隔相等时间间隔由静止释放一个质量m=1×10^-3kg的带电小球．第1个带电小球的电量q₁=+1×10^-8C，第n个带电小球的电量q_n=nq₁．取g=10m/s²．求：
（1）第1个带电小球从M下落至B板的时间；
（2）第几个带电小球将不能抵达B板；
（3）第（2）问中该带电小球下落过程中机械能的变化量．

Answer 1

分析：（1）小球先做自由落体运动，由运动学位移公式求出自由下落到小孔的时间，由位移速度公式求出到达A板小孔的速度．小球在匀强电场中做匀加速运动，根据牛顿第二定律和运动学位移公式结合时间，即可得到总时间．
（2）随着小球电量的增大，进入电场的小球会做匀减速运动，当小球刚好到达B板的速度为零时，根据动能定理求出这个小球的电量，即可根据条件：q_n=nq₁求解．
（3）由上题的结果，结合机械能的变化量等于电场力做功，由功能关系求解．

解答：解：（1）对于小球自由下落的过程，有 h=

1

2

g

t

2 1

解得，t₁=

2h g

=

2×1.25 10

s=0.5s；
小球到达小孔时的速度为  v₁=

2gh

=

2×10×1.25

m/s=5m/s；
小球在匀强电场中的加速度 α₁=

mg-Eq

m

=g-

Eq

m

=10-

5×105×10-8

1×10-3

=5m/s²；
由d=v₁t₂+

1

2

a1t22得：
  2t22+4t₂-1=0，
解得：t₂=

6 -2

2

s≈0.22s．
故第1个带电小球从M下落至B板的时间为 t=t₁+t₂=0.5s+0.22s=0.72s
（2）对第n小球，对全过程运用动能定理得：mg（h+d）-Eq_nd=△E_k=0，
得  q_n=

mg(h+d)

Ed

=

1×10-3×10×2.5

5×105×1.25

C=4×10^-8C，
则 n=

qn

q1

=4，即第4个小球恰好抵达B板，则第5个小球不能到达B板；
（3）对第5小球，设进入电场的深度为x．
根据动能定理得：mg（h+x）-Eq₅x=△E_k=0，
解得 x=

5

6

m，
所以机械能的变化量为△E_机=-mg（h+x）=-Eq₅x=5×10⁵×5×10^-8×

5

6

=-

25

12

×10^-2J=-2.08×10^-2J．
答：（1）第1个带电小球从M下落至B板的时间为0.72s；
（2）第5个带电小球将不能抵达B板；
（3）第（2）问中该带电小球下落过程中机械能的变化量为-2.08×10^-2J．

点评：本题两个过程的问题，分段运用力学方法处理是常用的方法，对于动能定理也可以运用全程法研究．