Question

4．如图所示，一光滑的半径为R的半圆形轨道固定在水平面上，一个质量为m的小球先后两次以不同的速度冲上轨道，第一次小球恰能通过轨道的最高点A，之后落于水平面上的P点，第二次小球通过最高点后落于Q点，P、Q两点间距离为R．求：
（1）第一次小球落点P到轨道底端B的距离；
（2）第二次小球经过A点时对轨道的压力．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出最高点的速度，结合高度求出平抛运动的时间，从而得出小球第一次的水平位移．
（2）根据第二次小球的水平位移，求出平抛运动的初速度，结合牛顿第二定律求出最高点轨道对小球的弹力，从而得出小球对A点的压力大小．

解答 解：设求第一次通过A点速度为v₁，根据牛顿第二定律有：
$mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$
解得：${v}_{1}=\sqrt{gR}$
根据2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，x₁=v₁t，
解得：x₁=2R．
（2）第二次小球的水平位移为：x₂=x₁+R=3R，
由x₂=v₂t，
$mg+{F}_{N}=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R}$，
联立解得：${F}_{N}=\frac{5}{4}mg$．
根据牛顿第三定律：对轨道的压力为：${F}_{N}′={F}_{N}=\frac{5}{4}mg$，方向竖直向上．
答：（1）第一次小球落点P到轨道底端B的距离为2R；
（2）第二次小球经过A点时对轨道的压力为$\frac{5}{4}mg$．

点评 本题考查了平抛运动和圆周运动的基本运用，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，以及圆周运动向心力的来源是解决本题的关键．