Question

18．已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响．
（1）试推导第一宇宙速度v₁的表达式；
（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行速度V₂．

Answer 1

分析 （1）第一宇宙速度等于卫星贴近地球表面做圆周运动的速度，其轨道半径近似等于地球的半径，根据重力提供向心力求出第一宇宙速度的大小．
（2）依据卫星万有引力提供向心力，结合地面万有引力等于重力，可求卫星的运行速度V₂．

解答 解：
（1）设卫星的质量为m，在地球表面附近，卫星做圆周运动的向心力等于重力：
$mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$
解得：
${v}_{1}=\sqrt{gR}$．
（2）地面万有引力等于重力：
$G\frac{M}{{R}^{2}}=mg$，
对卫星：
$G\frac{Mm}{（{R+h）}^{2}}=m\frac{{{V}_{2}}^{2}}{R+h}$，
解得：
${V}_{2}=\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{R+h}}$．
答：
（1）第一宇宙速度v₁的表达式${v}_{1}=\sqrt{gR}$；
（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，卫星的运行速度${V}_{2}=\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{R+h}}$．

点评 解决本题的关键知道不考虑地球自转时，万有引力等于重力．知道第一宇宙速度等于卫星贴着地球表面做匀速圆周运动的速度．