Question

4．如图所示，固定的光滑金属导轨水平放置，轨道间距为l．整个空间存在磁感应强度为B、方向竖直向上的匀强磁场．质量分别为m和2m的金属杆a、b垂直于导轨放置，两杆的电阻均为R，轨道电阻不计．现给b杆一水平向右的速度v₀，设轨道足够长，磁场区域足够大，两杆始终没有相碰．求：
（1）a杆最终的速度大小；
（2）整个过程a杆产生的焦耳热；
（3）当a杆速度为$\frac{{v}_{0}}{2}$时的加速度大小•

Answer 1

分析 （1）本题中两根导体棒的运动情况是：b杆向a杆运动时，产生感应电流．b棒受到向左安培力而做减速运动，a棒受到向右的安培力而作加速运动．在b棒的速度大于a棒的速度时，回路总有感应电流，b棒继续减速，a棒继续加速，两棒速度达到相同后，回路面积保持不变，磁通量不变化，不产生感应电流，两棒以相同的速度v作匀速运动，对于两棒组成的系统遵守动量守恒，由动量守恒定律求解．
（2）根据能量守恒定律求产生的总焦耳热，再求解a杆产生的焦耳热．
（3）先由动量守恒定律求出此时b杆的速度，得到回路总的感应电动势，求出感应电流，再由牛顿第二定律求解a杆的加速度大小．

解答 解：（1）最终两杆以相同的速度做匀速运动，设为v．
取向右为正方向，根据系统的动量守恒定律得：
  2mv₀=（m+2m）v
解得 v=$\frac{2}{3}{v}_{0}$
（2）由能量守恒得：
a、b两杆产生的焦耳热为 Q=$\frac{1}{2}×2m{v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}（m+2m）{v}^{2}$=$\frac{1}{3}m{v}_{0}^{2}$
因a、b两杆的电阻相等，所以a杆产生的焦耳热为 Q_a=$\frac{1}{2}Q$=$\frac{1}{6}m{v}_{0}^{2}$
（3）由动量守恒定律得：
  2mv₀=m$•\frac{{v}_{0}}{2}$+2mv₁，得v₁=$\frac{3}{4}{v}_{0}$
回路中感应电流 I=$\frac{BL{v}_{1}-BL\frac{{v}_{0}}{2}}{2R}$=$\frac{BL{v}_{0}}{8R}$
则a杆的加速度大小 a=$\frac{BIL}{m}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{8mR}$
答：
（1）a杆最终的速度大小为$\frac{2}{3}{v}_{0}$；
（2）整个过程a杆产生的焦耳热是$\frac{1}{6}m{v}_{0}^{2}$；
（3）当a杆速度为$\frac{{v}_{0}}{2}$时的加速度大小是$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{8mR}$．

点评 本题是双杆类型，要能根据牛顿运动定律正确分析出两杆的运动过程，明确两杆组成的系统合外力为零，遵守动量守恒，能量也守恒，由力学规律解答．