Question

磁悬浮列车是一种高速运载工具，它由两个系统组成。一是悬浮系统，利用磁力使车体在轨道上悬浮起来从而减小阻力。另一是驱动系统，即利用磁场与固定在车体下部的感应金属线圈相互作用，使车体获得牵引力，图22就是这种磁悬浮列车电磁驱动装置的原理示意图。即在水平面上有两根很长的平行轨道PQ和MN，轨道间有垂直轨道平面的匀强磁场B₁和B₂，且B₁和B₂的方向相反，大小相等，即B₁=B₂=B。列车底部固定着绕有N匝闭合的矩形金属线圈abcd（列车的车厢在图中未画出），车厢与线圈绝缘。两轨道间距及线圈垂直轨道的ab边长均为L，两磁场的宽度均与线圈的ad边长相同。当两磁场B_l和B₂同时沿轨道方向向右运动时，线圈会受到向右的磁场力，带动列车沿导轨运动。已知列车车厢及线圈的总质量为M，整个线圈的总电阻为R。
（1）假设用两磁场同时水平向右以速度v₀作匀速运动来起动列车，为使列车能随磁场运动，列车所受的阻力大小应满足的条件；
（2）设列车所受阻力大小恒为f，假如使列车水平向右以速度v做匀速运动，求维持列车运动外界在单位时间内需提供的总能量；
（3）设列车所受阻力大小恒为f，假如用两磁场由静止开始向右做匀加速运动来起动列车，当两磁场运动的时间为t₁时，列车正在向右做匀加速直线运动，此时列车的速度为v₁，求两磁场开始运动到列车开始运动所需要的时间t₀。

Answer 1

（1）列车静止时，电流最大，列车受到的电磁驱动力最大设为F_m，此时，线框中产生的感应电动势                     E₁=2NBLv₀
线框中的电流                       I₁=
整个线框受到的安培力             F_m=2NBI₁L
列车所受阻力大小为                        (4分)
（2）当列车以速度v匀速运动时，两磁场水平向右运动的速度为v′，金属框中感应电动势
 
金属框中感应电流
 
又因为             
求得                                     (2分)
当列车匀速运动时，金属框中的热功率为   P₁ = I²R
克服阻力的功率为     P₂ = fv
所以可求得外界在单位时间内需提供的总能量为
E= I²R +fv=                 (2分)
（3）根据题意分析可得，为实现列车最终沿水平方向做匀加速直线运动，其加速度必须与两磁场由静止开始做匀加速直线运动的加速度相同，设加速度为a，则t₁时刻金属线圈中的电动势                      
金属框中感应电流              
又因为安培力              
所以对列车，由牛顿第二定律得   
解得                                     (2分)
设从磁场运动到列车起动需要时间为t₀，则t₀时刻金属线圈中的电动势   
金属框中感应电流             
又因为安培力           
所以对列车，由牛顿第二定律得   
解得            (2分)

略