Question

19．如图所示，在倾角为30°、高为h的斜面顶端，将一个小球以一定初速度沿水平方向抛出．设小球在空中飞行到第一落点时的位移与水平方向的夹角为α，速度与水平方向的夹角为β，则下列判断正确的是（　　）

• A． 若初速度v=$\sqrt{2gh}$，则一定有α＜β
• B． 若初速度v=$\sqrt{2gh}$，则一定有α＞30°
• C． 若初速度v=$\sqrt{3gh}$，则一定有β＞30°
• D． 若初速度v＜$\sqrt{\frac{3}{2}gh}$，则一定有tanβ=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 小球做的平抛运动，在水平方向上是匀速直线运动，在竖直方向上是自由落体运动，根据平抛运动的规律分别求出夹角α和β的正切值的大小，进而比较夹角α和β的关系．

解答 解：若小球刚第一次刚好落在斜面底端，根据$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$得：t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$，则初速度${v}_{0}=\frac{\sqrt{3}h}{t}=\sqrt{\frac{3}{2}gh}$，
A、v=$\sqrt{2gh}$＞$\sqrt{\frac{3}{2}gh}$，则小球将落到水平面上，位移与水平方向的夹角α的正切值为tanα=$\frac{y}{x}=\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}=\frac{gt}{2{v}_{0}}$，
速度与水平方向的夹角β的正切值为tanβ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{gt}{{v}_{0}}$，所以tanβ=2tanα，所以一定是α＜β，故A正确；
B、若初速度v=$\sqrt{2gh}$，此时的tanα=$\frac{y}{x}=\frac{h}{{v}_{0}t}=\frac{h}{\sqrt{2gh}\sqrt{\frac{2h}{g}}}=\frac{1}{2}$，所以α＜30°，故B错误；
C、由h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，可得t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$，
所以此时的tanβ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{gt}{{v}_{0}}=\frac{g\sqrt{\frac{2h}{g}}}{\sqrt{3gh}}=\frac{\sqrt{6}}{3}＞\frac{\sqrt{3}}{3}$，β＞30°，故C正确；
D、若初速度v＜$\sqrt{\frac{3}{2}gh}$，则小球落在斜面上，
此时速度与水平方向的夹角β的正切值为tanβ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{{v}_{y}t}{{v}_{0}t}=\frac{2y}{x}$，
由于此时的小球落在斜面上，所以$\frac{y}{x}$=tan30°，
所以tanβ=2tan30°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，故D正确．
故选：ACD

点评 解决本题的关键就是求解夹角α和β的正切值，但是在比较它们之间的关系的时候，计算量比较大，应用的数学知识较多，难度较大．