题目内容
【题目】如图所示，某玩具厂设计出一个“2018”字型的竖直模型玩具，固定在足够长的水平地面上，四个数字等高，“2”字和“8”字用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，过“2”字出口H点的竖直虚线与“2”字上半圆相切，“0”字是半径为R的单层光滑圆轨道，“1”字是高度为2R的具有左右两条通道的光滑竖直细管道，所有轨道转角及连接处均平滑，H、F、B、C间的距离分别为3R、3R、2R。一小物块（可视为质点）分别从“1”字轨道A端的左、右两侧通道进入模型开始运动，小物块与FB、BC段轨道的动摩擦因数μ1=0.4，与HF段轨道的动摩擦因数μ2=0.15，已知R=1m。
（1）要使小物块能通过“8“字轨道，求小物体从“1”字轨道上端右侧通道射入的初速度最小值：
（2）让小物块以
m/s的初速度从“1”字轨道上端左侧通道射入，通过“0”字轨道最高点后从“2”字轨道J口飞出（J口末端水平)，求落地点到J点正下方的水平距离；
（3）若“0”字圆形轨道半径可调（F点位置不动），且其轨道不能与其他字型重叠。现让小物体从“l”字轨道上端左侧通道静止释放，要使小物体不脱离“0”字轨道，“0”字轨道半径R'应满足什么条件？
【答案】（1）4m/s（2）x=2m（3）0.8m≤R'≤3.25m或R′≤0.32m
【解析】试题分析：小物块能通过“8”字轨道最高点D点的临界速度为vD=0，A到D，由动能定理求初速度的最小值；A至J由动能定理求出小物块通过J点的速度，再由平抛运动的规律求落地点到J点正下方的水平距离；分析两种情况：①小物块恰过“0”字最高点G，由重力提供向心力。小物块A至G由动能定理列式，求出“0”字轨道半径R'。
②小物块恰到达“0”字轨道半径高度时速度为零，运用动能定理求出“0”字轨道半径R'，再得到“0”字轨道半径R'的范围。
（1）能通过“8”字轨道最高点D点的临界速度为
；
A至D由动能定理得：
，根据以上两式并代入数据得：vA=4m/s
（2）A至J由动能定理得：
；
J飞出后至落地由平抛运动：
，x=vJt，由以上三式并代入数据得：x=2m；
（3）①小物块恰过“0”字最高点G，设此时半径为R1，对G点：
；
A至G由动能定理得：
；
代入数据得：
（或
）所以当
时，小物块可以通过“0”字轨道最高点不脱轨。
②小物块恰到达“0”字轨道半径高度时速度为零，设此时半径为
，由动能定理：
，代入数据得：
；
为了轨道不重叠，最大“0”字轨道与A端相碰。设此时半径为
，如图，由勾股定理得：
；
代入数据得
，所以
，即
，小物块也不脱轨。
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