Question

【题目】如图所示，在水平轨道右侧安放一半径为R的竖直圆形光滑轨道，水平轨道的PQ段铺设特殊材料，调节其初始长度为L，水平轨道左侧有一轻质弹簧左端固定，弹簧处于自然伸长状态。小物块A(可视为质点)从轨道右侧以初速度v0冲上轨道，通过圆形轨道、水平轨道后压缩弹簧并被弹簧以原速率弹回，经水平轨道返回圆形轨道。已知R＝0.2 m，L＝1 m，v0＝2 m/s，物块A质量为m＝1 kg，与PQ段间的动摩擦因数μ＝0.2，轨道其他部分摩擦不计，取g＝10 m/s2。

(1)求物块A与弹簧刚接触时的速度大小；

(2)求物块A被弹簧以原速率弹回后返回到圆形轨道的高度；

(3)调节PQ段的长度L，A仍以v0从轨道右侧冲上轨道，当L满足什么条件时，物块A被弹簧弹回后能返回圆形轨道且能沿轨道运动而不脱离轨道？

Answer 1

【答案】(1)2 m/s (2)0.2 m (3)1 m≤L＜1.5 m或L≤0.25 m

【解析】(1)设物块A与弹簧刚接触时的速度大小为v1，由动能定理可得

－μmgL＝mv－mv

解得v1＝2 m/s。

(2)设物块A被弹簧以原速率弹回后返回到圆形轨道的高度为h1，由动能定理可得

－μmgL－mgh1＝0－mv

解得h1＝0.2 m＝R，符合实际情况。

(3)①若A沿轨道上滑至最大高度h2时，速度减为0，则使A不脱离轨道时h2需满足的条件是0<h2≤R

由动能定理可得

－2μmgL1－mgh2＝0－mv

联立可得1 m≤L1<1.5 m

②若A能沿轨道上滑至最高点，则需满足m≥mg

由动能定理可得

－2μmgL2－mg·2R＝mv－mv

联立可得L2≤0.25 m

综上所述，要使物块A被弹簧弹回后能返回圆形轨道并沿轨道运动而不脱离轨道，L需满足的条件是1 m≤L<1.5 m或L≤0.25 m。