Question

18．已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，地球自转加速度为ω₀，求：
（1）地球的第一宇宙速度v；
（2）若卫星绕地球做匀速圆运动的角速度为$\sqrt{2}$ω₀，求卫星的运行半径r．

Answer 1

分析 卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，应用牛顿第二定律可以求出地球的第一宇宙速度、求出卫星的轨道半径．

解答 解：卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力；
（1）地球表面的物体所受重力等于万有引力，即：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，
由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：v=$\sqrt{gR}$；
（2）由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m（$\sqrt{2}$ω₀）²r，
解得：r=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}}{2{ω}_{0}^{2}}}$；
答：（1）地球的第一宇宙速度v为$\sqrt{gR}$；
（2）卫星的运行半径r为$\root{3}{\frac{g{R}^{2}}{2{ω}_{0}^{2}}}$．

点评 本题考查了求第一宇宙速度、卫星轨道半径，知道万有引力提供向心力，应用万有引力公式与牛顿第二定律可以解题；解题时注意“黄金代换”的应用．