题目内容
【题目】如图所示,以A、B和C、D为端点的两半圆形光滑轨道固定于竖直平面内,一滑板静止在光滑的地面上,左端紧靠B点,上表面所在平面与两半圆分别相切于B、C,一物块被轻放在水平匀速运动的传送带上E点,运动到A时刚好与传送带速度相同,然后经A沿半圆轨道滑下,再经B滑上滑板。滑板运动到C时被牢固粘连。物块可视为质点,质量为m,滑板质量为M=2m,两半圆半径均为R,板长l=6.5R,板右端到C的距离L在R<L<5R范围内取值,E距A为S=5R,物块与传送带、物块与滑板间的动摩擦因数均为μ=0.5,重力加速度取g。
(1)求物块滑到B点的速度大小;
(2)试讨论物块从滑上滑板到离开右端的过程中,克服摩擦力做的功Wf与L的关系,并判断物块能否滑到CD轨道的中点。
【答案】(1) (2)见解析;
【解析】(1)设物块运动到A和B点的速度分别为v1、v2,
由动能定理得μmgS=mv12…①
由机械能守恒定律m v22=2mgR+
m v12…②
联立①②,得v2=3 …③
(2)设滑板与物块达到共同速度v3时,位移分别为l1、l2,
由动量守恒定律mv2=(m+M)v3…④
由动能定理μmgl1=M v32…⑤
μmgl2=m v32
m v22…⑥
联立③④⑤⑥,得l1=2R l2=8R…⑦
物块相对滑板的位移△l=l2-l1 △l<l
即物块与滑板在达到相同共同速度时,物块未离开滑板…⑧
物块滑到滑板右端时
若R<L<2R,Wf=μmg(l+L)…⑨
Wf=mg(13R+2L)…⑩
若2R≤L<5R,Wf=μmg(l+l1)…(11)
Wf=mgR…(12)
设物块滑到C点的动能为Ek,
由动能定理Wf=Ekmv22…(13)
L最小时,克服摩擦力做功最小,因为L>R,
由③⑩(13)确定Ek小于mgR,则物块不能滑到CD轨道中点.
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