题目内容
如图,在x轴下方有匀强磁场,磁感应强度大小为B,方向垂直于x y平面向外.P是y轴上距原点为h的一点,N0为x轴上距原点为a的一点.A是一块平行于x轴的挡板,与x轴的距离为
,A的中点在y轴上,长度略小于
.带电粒子与挡板碰撞前后,x方向的分速度不变,y方向的分速度反向、大小不变.质量为m,电荷量为q(q>0)的粒子从P点瞄准N0点入射,最后又通过P点.不计重力.
(1)若粒子从P点射出的速率为v,求粒子在磁场中运动的轨道半径R;
(2)求粒子从N0点射入磁场到第一次穿出磁场所经历的时间.(可用反三角函数表示)
(3)求粒子入射速度的所有可能值.
h |
2 |
a |
2 |
(1)若粒子从P点射出的速率为v,求粒子在磁场中运动的轨道半径R;
(2)求粒子从N0点射入磁场到第一次穿出磁场所经历的时间.(可用反三角函数表示)
(3)求粒子入射速度的所有可能值.
分析:(1)粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力,由牛顿第二定律求出轨道半径R.
(2)画出轨迹,由几何知识确定轨迹的圆心角,求出子从N0点射入磁场到第一次穿出磁场所经历的时间.
(3)若粒子能回到P点,由对称性,出射点的x坐标应为-a,设粒子最终离开磁场时,与档板相碰n次,列出n与a的关系式,得到速度的通项,然后结合粒子与挡板发生碰撞的条件,得到特殊值.
(2)画出轨迹,由几何知识确定轨迹的圆心角,求出子从N0点射入磁场到第一次穿出磁场所经历的时间.
(3)若粒子能回到P点,由对称性,出射点的x坐标应为-a,设粒子最终离开磁场时,与档板相碰n次,列出n与a的关系式,得到速度的通项,然后结合粒子与挡板发生碰撞的条件,得到特殊值.
解答:解:(1)当粒子的入射速度为v时,粒子在磁场中运动的轨道半径为R,
由qvB=m
①
得轨道半径R=
②
(2)如图所示,第一次射出磁场的点为N′,粒子与A板碰撞后再次进入磁场的位置为N1.
sinθ=
=
③
粒子作匀速圆圆运动的周期为T=
=
④
则粒子从N0点射入磁场到第一次穿出磁场所经历的时间为
t=
T=
?
=
(π-arcsin
)⑤
(3)粒子与A板碰撞后再次进入磁场的位置为N1.粒子速率不变,每次进入磁场与射出磁场位置间距离x1保持不变,有
x1=N0′N0=2Rsinθ⑥
粒子射出磁场与下一次进入磁场位置间的距离x2始终不变,与N0′N1相等.
由图可以看出:x2=a⑦
设粒子最终离开磁场时,与档板相碰n次(n=0、1、2、3…).若粒子能回到P点,由对称性,
出射点的x坐标应为-a,
即(n+1)x1-nx2=2a ⑧
由⑦⑧两式得x1=
a ⑨
若粒子与挡板发生碰撞,有x1-x2>
⑩
联立⑦⑨⑩得 n<3
联立②⑥⑨得v=
?
a
把sinθ=
代入上式中得
当n=0,v0=
当n=1,v1=
当n=2,v2=
答:(1)粒子在磁场中运动的轨道半径R=
.
(2)粒子从N0点射入磁场到第一次穿出磁场所经历的时间为
(π-arcsin
).
(3)粒子入射速度的可能值为
,
,
.
由qvB=m
v2 |
R |
得轨道半径R=
mv |
qB |
(2)如图所示,第一次射出磁场的点为N′,粒子与A板碰撞后再次进入磁场的位置为N1.
sinθ=
PO |
PN0 |
h | ||
|
粒子作匀速圆圆运动的周期为T=
2πR |
v |
2πm |
qB |
则粒子从N0点射入磁场到第一次穿出磁场所经历的时间为
t=
2π-2θ |
2π |
π-θ |
π |
2πm |
qB |
=
2m |
qB |
h | ||
|
(3)粒子与A板碰撞后再次进入磁场的位置为N1.粒子速率不变,每次进入磁场与射出磁场位置间距离x1保持不变,有
x1=N0′N0=2Rsinθ⑥
粒子射出磁场与下一次进入磁场位置间的距离x2始终不变,与N0′N1相等.
由图可以看出:x2=a⑦
设粒子最终离开磁场时,与档板相碰n次(n=0、1、2、3…).若粒子能回到P点,由对称性,
出射点的x坐标应为-a,
即(n+1)x1-nx2=2a ⑧
由⑦⑧两式得x1=
n+2 |
n+1 |
若粒子与挡板发生碰撞,有x1-x2>
a |
4 |
联立⑦⑨⑩得 n<3
联立②⑥⑨得v=
qB |
2msinθ |
n+2 |
n+1 |
把sinθ=
h | ||
|
当n=0,v0=
qBa
| ||
mh |
当n=1,v1=
3qBa
| ||
4mh |
当n=2,v2=
2qBa
| ||
3mh |
答:(1)粒子在磁场中运动的轨道半径R=
mv |
qB |
(2)粒子从N0点射入磁场到第一次穿出磁场所经历的时间为
2m |
qB |
h | ||
|
(3)粒子入射速度的可能值为
qBa
| ||
mh |
3qBa
| ||
4mh |
2qBa
| ||
3mh |
点评:本题关键在于画出粒子运动的轨迹,根据几何关系得到速度的通项.要充分利用对称性.
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