Question

如图a所示的平面坐标系xOy，在整个区域内充满了匀强磁场，磁场方向垂直坐标平面，磁感应强度B随时间变化的关系如图b所示，开始时刻，磁场方向垂直纸面向内（如图）．t=0时刻，有一带正电的粒子（不计重力）从坐标原点O沿x轴正向进入磁场，初速度为v₀=2×10³m/s．已知正粒子的比荷为1.0×10⁴C/kg，其它有关数据见图中标示．试求：
（1）t=×10^-4s时刻，粒子的坐标．
（2）粒子从开始时刻起经多长时间到达y轴．
（3）粒子是否还可以返回原点？如果可以，则经多长时间返回原点？

Answer 1

分析：（1）由洛伦兹力提供向心力可以得到轨道半径，由轨道半径可得周期，由磁场的变化可以画出在第一段时间内粒子的运动轨迹，由运动轨迹的几何关系可得到粒子的坐标．
（2）依据第一问得到的结果，可以得到在第二，第三时间段内的运动轨迹，由图可知粒子恰好在第三段时间末到达y轴，由此可得时间
（3）依据磁场变化的周期性，可知粒子的运动也存在对应的周期性，可做粒子的轨迹图，由图可知其返回的时间．

解答：解：（1）粒子进入磁场后在磁场中作圆周运动，设半径为R，周期为T，由洛仑兹力提供向心力，有
qvB=m

v2

R

解得：R=

mv

qB

=

2×103×10-4

0.5

=0.4m
又：T=

2πR

v

=

2πm

qB

=

2π×10-4

0.5

=4π×10^-4s

在磁场变化的第一段时间内，粒子运动的周期数为：N =

4π 3 ×104

4π×104

=

1

3

（个运动周期） 
运动轨迹对应的圆心角为120°，作出粒子在磁场中运动的轨迹如图所示．
第一段时间末，粒子的坐标为：
x=Rcos30°=0.2

3

m，y=R+

.

O1A

sin30°=0.6m
所求时刻，粒子的坐标（0.2

3

m，0.6m） 
（2）根据第（1）问可知，粒子在第一个磁场变化的时间段内时，运动了N₁=

1

3

个周期，在第二个时间段内运动的周期数为N2=

2π 3 ×104

4π×104

=

1

6

（个周期） 
所对应的运动轨迹圆心角为60°．运动轨迹如图所示．
第三个时间段内同样运动了：N3=

4π 3 ×104

4π×104

=

1

3

（个周期）
对应的圆心角为120°．
粒子运动的轨迹如图所示，粒子恰好在第三段时间末通过y轴．
故运动时间为t=

π

3

×10^-3s 
（3）粒子在磁场中作周期性运动，根据对称性和周期性，画出粒子的部分运动轨迹如图，其中O₂、O₆、O₁₀构成一个正三边形．
故粒子在磁场中一共运动了6个大圆弧和3个小圆弧，故从原点出发到回到原点的总时间为
t'=6×

4π

3

×10^-4s+3×

2π

3

×10^-4s=π×10^-3s  

答：
（1）t=×10^-4s时刻，粒子的坐标（0.2

3

m，0.6m）．
（2）粒子从开始时刻起经运动时间为t=

π

3

×10^-3s 到达y轴．
（3）粒子可以返回原点，所经历的时间为π×10^-3s

点评：本题重点是对磁场周期性的应用，磁场的周期性一定就会由粒子运动周期性的变化，故只要得到一个周期的运动轨迹，就可以重复画轨迹，直到得到想要的结果．本题由于粒子的运动轨迹比较复杂，故考察的难度相对较大．