Question

2．如图甲所示，在坐标系xOy平面内，y轴的左侧，有一个速度选择器，其中的电场强度为E，磁感应强度为B₀，粒子源不断地释放出沿x轴正方向运动，质量均为m、电量均为+q、速度大小不同的粒子，在y轴的右侧有一匀强磁场、磁感应强度大小恒为B，方向垂直于xOy平面，且随时间做周期性变化（不计其产生的电场对粒子的影响），规定垂直xOy平面向里的磁场方向为正，如图乙所示，在离y轴足够远的地方有一个与y轴平行的荧光屏，假设带电粒子在y轴右侧运动的时间达到磁场的一个变化周期之后，失去电量变成中性粒子（粒子的重力可以忽略不计）．

（1）从O点射入周期性变化磁场的粒子速度多大；
（2）如果磁场的变化周期恒定为T=$\frac{πm}{Bq}$，要使不同时刻从原点O进入变化磁场的粒子运动时间等于磁场的一个变化周期，则荧光屏离开y轴的距离至少多大；
（3）如果磁场的变化周期T可以改变，试求从t=0时刻经过原点O的粒子打在荧光屏上的位置离x轴的距离与磁场变化周期T的关系．

Answer 1

分析 （1）粒子沿直线通过速度选择器，则洛伦兹力与电场力是一对平衡力qvB=qE，化简可得粒子的速度．
（2）粒子垂直于磁场方向进入磁场中，洛伦兹力提供向心力$qv{B}_{0}=m\frac{{v}^{2}}{R}$，结合几何关系，画出粒子运动的轨迹，由运动学的公式即可求出；
（3）结合（2）的分析与几何关系即可求出．

解答 解：（1）粒子沿直线通过速度选择器，则洛伦兹力与电场力平衡，有：qvB₀=qE    
所以：$v=\frac{E}{{B}_{0}v}$ 
（2）粒子进入磁场后洛伦兹力提供向心力，则：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$   
所以：r=$\frac{mv}{Bq}$=$\frac{mE}{B{B}_{0}q}$
粒子运动的周期为：${T}_{0}=\frac{2πr}{v}$=$\frac{2πm}{Bq}$
由于磁场的变化周期恒定为T=$\frac{πm}{Bq}$=$\frac{1}{2}{T}_{0}$
所以粒子在磁场中运动半个周期后偏转的角度为90°，任一时刻进入磁场的粒子在磁场中运动的轨迹如图甲，

要使不同时刻从原点O进入变化磁场的粒子运动时间等于磁场的一个变化周期，荧光屏离开y轴的距离至少为：
x=2rsinα+2rsin（90°-α）=2r（sinα+cosα）=$2\sqrt{2}rsin（α+45°）$
所以当α=45°时，x最大，最大值为：$x=2\sqrt{2}r=\frac{2\sqrt{2}mE}{B{B}_{0}q}$
（3）由于两次磁场的大小相等方向相反，由运动的对称性可知其运动的轨迹如图乙，经过一个磁场的变化周期后速度的方向与x轴再次平行，切距离x轴的距离为：
y=2r（1-cosα）
式中的α是粒子在变化的半个周期内偏转的角度，它与周期T的关系为：
$\frac{T}{2}=\frac{α}{2π}•\frac{2πm}{qB}$=$\frac{αm}{qB}$
所以：$α=\frac{BqT}{2m}$
则在经过一个周期后粒子到x轴的距离：y=$\frac{2mE}{B{B}_{0}q}（1-cos\frac{BqT}{2m}）$

由于只在y轴的右侧有磁场，所以带电粒子在磁场中转过的角度不超过150°，如图丙所示，即磁场的周期变化有一个最大值：$\frac{{T}_{M}}{2}=\frac{\frac{5}{6}πm}{qB}$
所以正确：T＜T_m=$\frac{5πm}{3Bq}$
所以粒子到x轴的距离：y=$\frac{2mE}{B{B}_{0}q}（1-cos\frac{BqT}{2m}）$（T＜$\frac{5πm}{3Bq}$）
答：（1）从O点射入周期性变化磁场的粒子速度为$\frac{E}{{B}_{0}v}$；
（2）如果磁场的变化周期恒定为T=$\frac{πm}{Bq}$，要使不同时刻从原点O进入变化磁场的粒子运动时间等于磁场的一个变化周期，则荧光屏离开y轴的距离至少是$\frac{2\sqrt{2}mE}{B{B}_{0}q}$；
（3）如果磁场的变化周期T可以改变，试求从t=0时刻经过原点O的粒子打在荧光屏上的位置离x轴的距离与磁场变化周期T的关系为y=$\frac{2mE}{B{B}_{0}q}（1-cos\frac{BqT}{2m}）$（T＜$\frac{5πm}{3Bq}$）．

点评 该题结合粒子速度选择器考查带电粒子在磁场中的运动，粒子垂直射入电场，在磁场中做匀速圆周运动，要求能够画出粒子运动的轨迹，结合几何关系求解，知道半径公式及周期公式．